Über das Verhalten der hypergeometrischen Reihe bei unbegrenztem Wachstum eines oder mehrerer Parameter. (Q1471060)

Es werden hypergeometrische Reihen, wie z. B. \[ F(\alpha,\beta\pm n,\gamma;x),\;F(\alpha\pm n,\beta\pm n,\gamma;x),\;F(\alpha,\beta\pm n,\gamma\pm n;x) \] als Funktionen von \(n\) untersucht und zwar ihr Verhalten für \(n\to\infty\). Im ersten Teil werden diese Funktionen im wesentlichen als Koeffizienten von \(z^n\) in einer Potenzreihe dargestellt und aus der Art der Singularitäten auf dem Konvergenzkreis jenes Verhalten erschlossen; diese Methode ist daher nur für ganzzahlige \(n\) brauchbar. Dagegen darf im zweiten Teil, wo von der Darstellung der hypergeometrischen Reihe als bestimmtes Integral ausgegangen wird, \(n\) stetig ins Unendliche wachsen. Als Resultate ergeben sich asymptotische Darstellungen wie z. B. \[ \begin{multlined} \frac{\Gamma(\gamma- \alpha)}{\Gamma(\gamma)}\frac{\Gamma(\alpha+1- \beta+n)}{\Gamma(1-\beta+n)}x^\alpha F(\alpha,\beta- n,\gamma;x) \\ \sim 1+\frac{\alpha(\alpha- \gamma+1)}{1\cdot(\alpha-\beta+n+1)}\frac 1x+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha-\gamma+1)(\alpha- \gamma+2)}{1\cdot 2\cdot(\alpha-\beta+n+1)(\alpha- \beta+n+2)}\left(\frac 1x\right)^2 \\ +\cdots\text{ für }| 1- x| <1. \end{multlined} \] Hier ist die rechtsstehende hypergeometrische Reihe eine Fakultätenreihe nach \(n\), die zwar für \(| x| <1\) divergiert, aber doch das asymptotische Verhalt der linken Seite richtig darstellt. Wenn man also nach \(p\) Gliedern abbricht, so ist der Fehler \(O(n^{-p})\). Alle Resultate gelten nicht nur für die hypergeometrische Reihe, sondern auch für deren analytische Fortsetzung in der längs der reellen Achse von 1 bis \(+\infty\) aufgeschnittenen \(x\)-Ebene.