Sur la formation d'équations intégrales admettant les fonctions hypersphériques comme solutions fondamentales. (Q1471090)

Die Hyperkugelfunktionen \(U_n^{(s)}(x)\) sind definiert durch die Gleichung \[ (1-2ax+a^2)^{-\frac s2}= \sum a^nU_n^{(s)}(x)\;(s\text{ ganze Zahl}). \] Der Verf. gibt folgende Methode zur Bestimmung von Kernen, deren Eigenfunktionen die Hyperkugelfunktionen sind. Läßt sich \(F(x)\) für \(-1\leqq x\leqq+1\) durch die gleichmäßig konvergente Reihe \(F(x)=\sum A_nU_n^{(s)}(x)\) darstellen, so läßt sich die Funktion \[ K(x, y)=\int_0^\pi F(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1- y^2}\cos\omega)\sin^{s-1}\omega d\omega \] für \(-1\leqq x,y\leqq+1\) in der Form darstellen \[ K(x, y)=2^{s-1}\Gamma^2\left(\frac s2\right)\sum A_\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+s)}U_n^{(s)}(x)U_n^{(s)}(y), \] ist also ein Kern, welcher die gewünschte Eigenschaft besitzt.