Ein Beitrag zur Theorie der Polynome von Laguerre und Jacobi. (Q1471094)

Mit Hilfe der für die Laguerreschen Polynome \(L_\nu(\zeta)\) geltenden Beziehung \[ e^{-\zeta}L_\nu(\zeta)=\frac{1}{\nu!}D^{(\nu)}e^{- \zeta}\zeta^\nu\;(\nu=0,1,2,\dots) \] wird die Ungleichheit bewiesen: \[ e^{-\frac\zeta 2}| L_\nu(\zeta)| <1\text{ für }\zeta>0\text{ und }\nu=0,1,2,\dots. \tag{*} \] Dieses Resultat wird verallgemeinert auf gewisse Polynome \(L_\nu^{(k)}(\zeta)\), aus denen sich die früher betrachteten für \(k=0\) ergeben. Als Anwendung der Beziehung (*) folgt eine Ungleichung für nichtnegative Polynome. Des weiteren wird ein Zusammenhang gewisser Jacobischer Polynome \(P_n^{(k)}(x)\) mit den Laguerreschen Polynomen aufgedeckt; \(P_n^{(0)}(x)\) sind die Legendreschen Polynome. Sodann wird die von I. Schur vermutete Ungleichung \[ |x^kP_n^{(k)}(x)| <1\text{ für }| x| <1,k>0,n=0,1,2,\dots \] für \(k=m+\frac 12\) (\(m\) ist positiv ganz) bewiesen.