Recherches sur les polynomes d'\textit{Hermite}. (Q1471097)

Das \(n\)-te \textit{Hermite}sche Polynom \(H_N(x, a)\) ist durch \[ D_x^ne^{-\frac{x^2}{4a}}=\frac{(-1)^nn!}{(2a)^n}e^{- \frac{x^2}{4a}} H_n(x,a)(a>0) \] definiert. Die Funktionen \(e^{-\frac{x^2}{8a}}H_n(x, a)\) bilden wie bekannt ein System von Orthogonalfunktionen. Reihenentwickelungen nach \textit{Hermite}schen Poynomen sind in den letzten Jahren vielfach untersucht worden. Trotzdem sind manche Eigenschaften dieser Polynome bisher nur wenig untersucht worden. Die vorliegende Abhandlung beabsichtigt diese Lücke auszufüllen. An \(H_n(x,a)\) wird eine ganze Funktion \(h_n(x,a)\) adjungiert -- ``\textit{Hermite}sche Funktion zweiter Art'' --, welche dieselbe homogene und lineare Diffentialgleichung befriedigt wie \(H_n(x,a)\). Man hat \[ h_n(x,a)=H_n(x,a)\;\int_0^xe^{\frac{x^2}{4a}}dx- \frac{2a}{n!}G_{n-1}(x,a)e^{\frac{x^2}{4a}}\;(n\geqq 1), \] wo \(G_m(x,a)\) ein Polynom \(m\)-ten Grades in \(x\) ist. In einem Einleitungskapitel werden einige analytische Hilfsmittel entwickelt. Dann werden u. a. die Wurzeln der Gleichungen \(H_n(x,a)\) und \(G_n(x,a)\) untersueht. Die Gleichungen \[ \begin{aligned} D_xH_n(x,a)&=H_{n-1}(x,a), \\ nH_n(x,a)&=xH_{n-1}(x,a)- 2aH_{n-2}(x,a) \end{aligned} \] zusammen mit \(H_0(x,a)=1\) und \(H_1(x,a)=x\) zeigen, daß\ \(y=H_n(x,a)\) ein partikuläres Integral der Gleichung \[ 2ay''-xy'+ny=0 \] ist. Die Arbeit schließt mit Sätzen über das Produkt zweier \textit{Hermite}schen Funktionen.