Sugli integrali semplici di \(1^{\text a}\) specie appartenenti ad una superficie algebrica. (Q1471116)

Die Arbeit ist eine ausführliche Darstellung einer Note des Verf.: Sur les intégrales simples de première espèce attachées à une surface algébrique in den C. R. 152, 1079 (F. d. M. 42, 448 (JFM 42.0448.*), 1911). In dieser wichtigen Arbeit wird gezeigt, daß\ man auf folgende Art die totalen Differentiale erster Gattung einer algebraischen Fläche \(F\) \(m\)-ter Ordnung finden kann. Man bestimme eine adjungierte Fläche \(P=0\;(m-2)\)-ter Ordnung, die durch die unendlich ferne Gerade der Ebene \(y=0\) geht und durch die Punkte von \(F\), wo \(F\) von Ebenen \(y=\) konst. berührt wird. Es sei \(D\) die Kurve, in der \(P=0\) die unendlich ferne Ebene schneidet. Es gibt dann eine und nur eine adjungierte Fläche \((m-2)\)-ter Ordnung \(Q=0\), die durch \(D\) und durch die unendlich ferne Gerade der Ebene \(x=0\) geht und durch die Punkte von \(F\), wo \(F\) von Ebenen \(x=\) konst. berührt wird. Es ist dann, wenn \(F\) durch die Gleichung \(f(x,y,z)=0\) definiert ist, \[ \frac{Pdx+Qdy}{f'_z} \] ein totales Differential erster Gattung. Der Beweis stützt sich auf den folgenden Satz, der auch in dieser Arbeit bewiesen wird: Es sei \(f(x,y;\lambda,\mu,\dots)=0\) die Gleichung einer algebraischen Kurve, deren Koeffizienten rational von den Parametern \(\lambda,\mu,\dots\) abhängen. Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ ein zu \(f=0\) gehörendes Integral zweiter (oder erster) Gattung, das rational von \(\lambda,\mu,\dots\) abhängt, konstante Perioden hat, daß\ das Integral nicht für spezielle Werte der Parameter identisch unendlich wird oder in ein Integral dritter Gattung übergeht.