Sur les intégrales doubles des variétés algébriques. (Q1471118)

Der Verf. hat sich die Aufgabe gestellt, die Doppelintegrale der \(3\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten eines \(4\)-dimensionalen Raumes in der Richtung von \textit{Picard} und der italienischen Schule zu untersuehen. Zuerst beweist er den folgenden Satz. Jedes Doppelintegral vom Typus \[ \iint\left[\left(\frac{\partial R}{\partial y}+\frac{\partial R'}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial S}{\partial x}+\frac{\partial S'}{\partial z}\right)+T(x,y,z,t)dxdy,\right] \] wo \(R,R',S,S',T\) rationale Funktionen der Koordinaten eines Punktes der betrachteten Mannigfaltigkeit sind, kann immer in der Form \[ \iint\left[\left(\frac{\partial V}{\partial z}-\frac{\partial W}{\partial y}\right)dydz+\left(\frac{\partial W}{\partial x}- \frac{\partial U}{\partial z}\right)dzdx+\left(\frac{\partial U}{\partial y}-\frac{\partial V}{\partial x}\right)dxdy\right] \] geschrieben werden. Dann beweist er den analogen Satz: Man betrachte die Doppelintegrale \(2\)-ter Art \[ \iint\frac{P_1(\overline x,y,z,t)}{\varphi_1(\overline x)F_t'}dydz, \iint\frac{P_2(x,\overline y,z,t)}{\varphi_2(\overline y)F_t'}dzdx, \iint\frac{P_3(x,y,\overline z,t)}{\varphi_3(\overline z)F_t'}dxdy \] (wo \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\) Polynome und \(P_1,P_2,P_3\) gewisse adjungierte Polynome sind), welche den Schnitten der betrachteten Mannigfaltigkeit mit den Hyperebenen \(x=\overline x,y=\overline y,z=\overline z\) entsprechen; dann kann man immer drei rationale Funktionen \(U,V,W\) bestimmen derart, daß \[ \frac{\partial}{\partial x}\frac{P_1}{\varphi_1F_t'}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{P_2}{\varphi_2F_t'}+\frac{\partial}{\partial z}\frac{P_3}{\varphi_3F_t'}+\frac{\partial^2U}{\partial y\partial z}+\frac{\partial^2V}{\partial z\partial x}+\frac{\partial^2W}{\partial x\partial y}=0 \] ist. Diese Theoreme werden vom Verf. auf höhere Mannigfaltigkeiten ausgedehnt. Ist nun \(\rho\) die ``Basis'' oder ``\textit{Picard}sche Zahl'' der betrachteten \(3\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit, so findet der Verf., daß\ jedes normale uneigentliche Integral \(2\)-ter Art, dessen Perioden nicht alle gleich Null sind, eine lineare Kombination von \(\rho-1\) solchen ist, vermehrt um ein ähnliches Integral, dessen Perioden alle gleich Null sind. Auf diese Weise erhält der Verf. mehrere andere bemerkenswerte Resultate.