On function of lines and a set of curves. (Q1471219)

Ziel der Arbeit ist der Beweis des folgenden, ein bekanntes \textit{Fréchet}sches Resultat verallgemeinernden Satzes: Jede stetige Funktion \(F[L]\) einer in einer ``einfachen Kurvenmenge'' \(M_0\) variablen Kurve \(L\) kann dargestellt werden als gleichmäßiger Limes für \(n\to\infty\) eines Aggregates von mit Kurvenintegralen \[ K_0^{(n)}+\int_{(L)} K_1^{(n)}(x,y)ds \] \ \[ +\cdots+\int_{(L)}\int_{(L)}\cdots\int_{(L)} K_{m_n}^{(n)}(x_1,y_1;x_2,y_2;\dots;x_{m_n},y_{m_n})ds_1ds_2\dots ds_{m_n}, \] wo die \(K_i^{(n)}\) gewisse durch die Natur von \(F\) bestimmte Polynome sind. Dabei ist die wesentliche Eigenschaft von \(M_0\) -- außer daß\ ihre Kurven \(L\) in einem endlichen Bereich liegen, offen und doppelpunktfrei sind und daß\ sie abgeschlossen ist -- die ``gleichmäßige Rektifizierbarkeit'': Werden alle \(L\) in Teile geteilt, deren Verhältnis zur Gesamtlänge von \(L\) höchstens gleich \(d\) ist, so konvergiert das Verhältnis der Gesamtlänge der \(L\) eingeschriebenen Sehnen zur Kurvenlänge gleichmäßig gegen 1. (IV 3 C.)