Sur la composition de première espèce: Les fonctions d'ordre quelconque et leur composition. (Q1471220)

Der Verf. zeigt, daß\ man für Funktionen vom Typus (Ordnung \(\alpha\)) \[ f(x,y)=\frac{(y-x)^{\alpha- 1}}{\varGamma(\alpha)}\cdot\varphi(x,y), \] wo \(\alpha\) weder 0 noch negativ ganzzahlig und \(\varphi(x,x)\neq 0\) ist, die den bekannten Gesetzen entsprechende \textit{Volterra}sche Komposition 1. Art definieren kann, indem man \(\overset {*} f\overset {*} g\) gleich dem endlichen Teile von \(\int_x^y f(x,\xi)g(\xi,y)d\xi\) setzt, der dann von der Ordnung \(\alpha+\beta\) ist. Um auch Funktionen der hier ausgenommenen ``singulären'' Ordnungen 0 und \(-n\) in den Calcul einbeziehen zu können, muß\ er Symbole heranziehen, die entsprechenden Rechenregeln genügen; es gelingt nun aber, alles auf die Symbole \(\overset {*} 1^0\) und \(\overset {*} 1^{-n}\) zu reduzieren (die aus der Funktion \(f=1\) entstanden gedacht sind), während \textit{Volterra} in seiner Behandlung dieses Kalküls (Rom. Acc. L. Rend. (5) 11) einen wesentlich größeren Kreis von Symbolen heranziehen mußte. Den Schluß\ bildet eine Anwendung auf die \textit{Volterra}sche Integralgleichung 1. Art für Funktionen beliebiger Ordnung.