Sur certaines transformations fonctionnelles. (Q1471223)

Nach \textit{Volterra} lassen sich alle mit einer gegebenen Funktion \(F(x,y)\), für die \(F(x,x)=1, F_x(x,x)=F_y(x,x)=0\) ist, vertauschbaren Kerne durch eine lineare \textit{Volterra}sche Integraltransformation \[ (1)\quad \Omega(\lambda)=\lambda(y-x)+\int_0^{y-x} \lambda(\xi)\Phi(\xi;y,x)d\xi \] aus willkürlichen Funktionen \(\lambda(\xi)\) herstellen. Die vorliegende Note knüpft nun an die Tatsache an, daß\ die Kerne \(\lambda(y-x)\) miteinander vertauschbar sind; bestimmt man also \(\Phi\) gemäß\ der Identität \[ (2)\quad \overset {*}\Omega(\lambda)\overset {*}\Omega(\mu)=\Omega(\overset {*}\lambda\overset {*}\mu), \] wobei unter \(\overset {*} f\overset {*} g\) in üblicher Weise der aus \(f\) und \(g\) zusammengesetzte \textit{Volterra}sche Kern verstanden ist, so sind alle Kerne (1) etwa mit \[ (3)\quad \Omega(1)=F \] vertauschbar. Die quadratische Integralgleichung für \(\Phi\), auf die (2) führt, wird durch sukzessive Approximation gelöst, wobei die eingehende willkürliche Funktion noch gemäß\ (3) bestimmt werden kann.