A \textit{Hankel}-féle formákról. (Über die \textit{Hankel}schen Formen.). (Q1471241)

In dieser Arbeit werden die Ergebnisse einer anderen (vgl. das vorst. Ref. ) auf die quadratischen Formen \[ (1)\quad G_n(f;x_0,x_1,\dots,x_n)=\int_{-1}^{+1} f(t)(x_0+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt (n=0,1,2,\dots) \] übertragen, wo \(f(t)\) eine beschränkte und \((R)\) integrable Funktion bezeichnet. Diese Formen hängen mit dem \textit{Stieltjes}schen Momentenproblem zusammen, so daß\ sich hierbei manche Resultate ergeben, die auch für dieses Problem von Interesse sind. Dies gilt insbesondere für die hier bewiesenen Eigenschaften der Polynome \(Q_n(x)\) (Kettenbruchnenner), welche im Falle eines positiv definiten \(f(t)(f(t)\geqq m>0)\) z. B. durch die Orthogonalitätseigenschaft \[ (2)\quad \int_{-1}^{+1} f(t)Q_m(t)Q_n(t)dt=\delta_{mn} \] definiert werden können. Es werden zunächst die Eigenwerte der Form (1) unter der Nebenbedingung \(G_n(1,x_0,x_2,\dots,x_n)=1\) untersucht und gezeigt, daß\ wenn diese \[ \lambda_0^{(n)},\lambda_1^{(n)},\dots,\lambda_n^{(n)} \] sind \((m<\lambda_\nu^{(n)}\leqq M\), wenn \(m\leqq f(t)\leqq M\)), für jede in \(m\leqq\lambda\leqq M\) beschränkte und integrable Funktion \(F(\lambda)\) gilt \[ (3)\quad \frac{1}{n+1}\sum_{\nu=0}^n F(\lambda_\nu^{(n)}\to\frac 1\pi\int_0^\pi F(f(\cos\theta))d\theta\text{ für }n\to\infty. \] Hieraus ergibt sich eine asymptotische Formel der Determinante \(D_n(f)\) der quadratischen Form (1) (Verallgemeinerung eines \textit{Hilbert}schen Satzes, Acta Math. 18, 155, 1894), ferner Sätze über die oben definierten \(Q_n(t)\). Die Wurzeln derselben, die bekanntlich alle reell und im Intervall -1, 1 gelegen sind, liegen dort überall dicht, und zwar im obigen Sinne nach der ``Verteilungsfunktion'' \(\cos\theta\) verteilt. Ferner folgt für jedes (reelle oder komplexe) \(t\) außerhalb des Intervalls -1, 1 die Formel \[ (4)\quad \lim_{n=\infty}\root{n}\of{Q_n(t)}=p(t), \] wobei \(p(t)\) als die Summe der \textit{Halbach}sen derjenigen Ellipse definiert ist, deren Brennpunkte -1, 1 sind, die außerdem durch \(t\) hindurchgeht. Als wichtigste Folgerung ergibt sich hieraus, daß\ unter der oben angegebenen Bedingung für \(f(t)\) das Konvergenzgebiet der Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion nach den Polynomen \(Q_n(t)\) eine homofokale Ellipse mit den Brennpunkten -1, 1 ist, und zwar die größte, in deren Innern die Funktion regulär ist. Die Halbachsensumme dieser Ellipse ergibt sich aus den Koeffizienten der Entwicklung nach einer der \textit{Cauchy-Hadamard}schen nachgebildeten Formel. Damit ist die Lösung einer in speziellen Fällen vielfach untersuchten Frage gegeben worden. (Vgl. \textit{O. Blumenthal}, Diss. Göttingen 1898; vgl. auch \textit{G. Szegö}, Math. Ann. 82, 188, 1920.) (IV 4, 6 B.)