Sur les transformations ponctuelles qui conservent les volumes. (Q1471266)

Der Verf. führt die Bestimmung der in der Überschrift bezeichneten Transformationen des \(R_n\) für beliebiges \(n\) allgemein durch; \textit{Demoulin}, der dieselbe Aufgabe schon früher behandelt hat, hatte nur gezeigt, wie man schrittweise für \(n=2,3,4,\dots\) die Lösung ermitteln kann, hatte aber keine allgemeinen Formeln aufgestellt. Für \(n=2\) liefern die Gleichungen: \[ X=\frac{\partial U(x,Y)}{\partial Y},\frac{\partial U(x,Y)}{\partial x}=y, \] wenn man sie nach \(Y\) und \(x\) auflöst, alle flächentreuen Transformationen mit Ausnahme derjenigen, wo \(Y\) bloß\ von \(x\) abhängt; dabei ist \(U\) eine beliebige Funktion, für die nur die Ableitung \(U_{xy}\), nicht verschwinden darf. Im Falle eines beliebigen \(n\) kann man jede Punkttransformation, wenn nötig nach vorheriger Umnumerierung der \(x\) in der Form: \[ (1)\quad X_i=F_i(x_1,\dots,x_i,X_{i+1},\dots,X_n)\;(i=1,2,\dots,n) \] schreiben; sollen die Volumina ungeändert bleiben, so muß \[ (2)\quad\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\cdot\frac{\partial F_2}{\partial x_2}\cdots\frac{\partial F_n}{\partial x_n}=1 \] werden, eine Bedingung, die man in allgemeinster Weise erfüllt, wenn man \(n-1\) Funktionen \(U_k(x_1,\dots,x_k,X_{k+1},\dots,X_n) (k=1,\dots,n-1)\) so wählt, daß\ keine der Ableitungen \(\frac{\partial^2U_k}{\partial x_k\partial X_{k+1}}\) verschwindet, und dann \(X_1,\dots,X_n\) aus den Gleichungen \[ (3)\quad X_1=\frac{\partial U_1}{\partial X_2},\frac{\partial U_k}{\partial x_k}=\frac{\partial U_{k+1}}{\partial X_{k+2}}\;(k=1,\dots,n-2),\frac{\partial U_{n-1}}{\partial x_{n-1}}=x_n \] berechnet. Wählt man \(U_k=x_kU_{k+1}\), außer für \(k=p\), so erhält man eine Transformation, bei der \(X_i=x_i\) wird, außer für \(i=p,p+1\), so daß\ nur \(x_p,x_{p+1}\) transformiert werden. Der Verf. zeigt, daß\ die allgemeinste volumtreue Transformation durch eine Aufeinanderfolge solcher spezieller Transformationen ersetzt werden kann. Man kann die flächentreuen Transformationen in \(x,y\) als solche Transformationen definieren, bei denen der \textit{Pfaff}sche Ausdruck \(Hdy\) die Form \(dH-ydx\) annimmt, unter \(H\) eine beliebige Funktion von \(x,y\) verstanden; drückt man \(H\) durch \(x\) und \(Y\) aus, so gelangt man zu der vorhin gegebenen Darstellung der Transformationen. Durch Verallgemeinerung dieser Betrachtung auf die symbolische Differentialform \(x_ndx_1\dots dx_{n-1}\) war der Verf. ursprünglich auf die Formeln (3) gekommen. (IV 12.)