Sur l'impossibilité d'une certaine généralisation des transformations de contact. (Q1471268)

Der Verf. fragt nach Transformationen, bei denen ein System von partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung \[ F_i(x_1,\dots,x_n,z_1,\dots,z_m,p_1^1,\dots,p_n^m)=0,p_i^\kappa= \frac{\partial z_\kappa}{\partial x_i}\quad (i=1,\dots,\mu) \] in ein ebensolches System in den \(X,Z\) übergeht; er sucht daher, wie es in der Theorie der Berührungstransformationen geschieht, das Gleichungssystem \[ (1)\quad\delta_i=\sum_{j=1}^m\alpha_j^i\Delta_j\;(i=1,\dots,m) \] zu befriedigen, wo \[ \delta_i=dz_i-\sum p_\mu^i dx_\mu,\;\Delta_i=dZ_i-\sum P_\mu^i dX_\mu. \] Aus (1) folgt, daß\ zwischen den \(z,x,Z,X\) allein mindestens \(m\), etwa \(m+r\) Relationen \(H_\kappa=0\) bestehen, und es muß\ dann \(m(m+n)\) Multiplikatoren \(\lambda_i^\kappa\) derart geben, daß\ identisch \[ (2)\quad \delta_i- \sum{j=1}^m\alpha_j^i\Delta_j=\sum{\kappa=1}^{m+r} \lambda_\kappa^i dH_\kappa\;(i=1,\dots,m) \] wird. Den Fall \(m=1\) der Berührungstransformationen und den Fall \(r=n\) der Punkttransformationen schließt der Verf. aus und betrachtet den Fall \(m>1,r=0\). Durch höchst umständliche Rechnungen findet er, daß\ das identische Bestehen von (2) die Gleichungen: \[ (3)\quad \frac{dH_\kappa}{dx_\mu}=0, \frac{dH_\kappa}{dX_\mu}=0\;(\kappa=1,\dots,m;\mu=1,\dots,n) \] nach sich zieht, wo: \[ \frac{dH_\kappa}{dx_\mu}=\frac{\partial H_\kappa}{\partial x_\mu}+\sum_{j=1}^m\frac{\partial H_\kappa}{\partial z_i}p_\mu^i,\dots \] Er hätte dieses Ergebnis mit einem Schlage gewinnen können, wenn er beachtet hätte, daß\ aus (2) die Gleichungen: \[ \begin{aligned} \sum_{\kappa=1}^m \lambda_\kappa^i\frac{\partial H_\kappa}{\partial z_j}&=\varepsilon_{ij}\;(i,j=1,\dots, m) \\ \sum_{\kappa=1}^m \lambda_\kappa^i\frac{\partial H_\kappa}{\partial x_\mu}&=0,\;\sum_{\kappa=1}^m \lambda_\kappa^i\frac{dH_\kappa}{dX_\mu}=0\;(\mu=1,\dots,n) \end{aligned} \] folgen. Die verlangte Transformation ist demnach nur möglich, wenn das System \(F_i=0\) die aus \(H_\kappa=0\) und (3) durch Elimination der \(Z,X,P\) folgenden Gleichungen \((s)\) umfaßt. Fällt es insbesondere mit dem Systeme dieser Gleichungen \((s)\) zusammen, so stellen die Gleichungen \(H_\kappa=0\) eine vollständige Lösung von \(F_i=0\) dar, die bei der Transformation in die vollständige Lösung \(Z_i=\) konst., \(X_\mu=\) konst. des Systems \((S)\) übergeht, das aus \(X_\kappa=0\) und (3) durch Elimination der \(Z,X,P\) entsteht. Der Verf. nimmt daran ganz unnötigerweise Anstoß, als ob dadurch die Transformation unmöglich würde, während sie doch das System \((s)\) in \((S)\) überführt. Eine eigentliche Transformation zwischen den \(z,x,p\) und den \(Z,X,P\) ist sie allerdings nicht, eine solche Transformation ist immer eine erweiterte Punkttransformation, wie längst erwiesen ist (Leipz. Ber. 1890, 200). (IV 12.)