Verallgemeinerte \textit{Laplace}sche Integrale als Lösungen linearer und nichtlinearer Differentialgleichungen. (Q1471288)

In beiden Arbeiten handelt es sich um die Differentialgleichung \[ x^{k+1}\frac{dy}{dx}+y=f(x,y), \] wo \(f(x,y)\) am Nullpunkt regulär ist; das konstante Glied und der Koeffizient von \(y\) sollen verschwinden. Die Gleichung wird befriedigt durch ein verallgemeinertes \textit{Laplace}sches Integral \[ \int_0^\infty\sum_{p=0}^{k-1}x^pw_p(t)e^{- \frac{t}{x^k}}dt\text{ oder }\int_0^\infty w(t)e^{- \frac{t}{x^k}}dt. \] Dabei genügen die Funktionen \(w_p(t)\) und \(w(t)\) gewissen nichtlinearen Integralgleichungen vom \textit{Volterra}schen Typus. Sie lassen sich nach gebrochenen Potenzen von \(t\) entwickeln, und durch gliedweise Integration entstehen dann im allgemeinen divergente Reihen, die aber die Integrale asymptotisch darstellen. Durch die obigen \textit{Laplace}schen Integrale werden die divergenten Reihen in einer Weise summiert, die als Verallgemeinerung der \textit{Borel}schen Summation betrachtet werden kann. (Vgl. auch F. d. M. 45, 486 (JFM 45.0486.*), 1914-15.)