Über einen Fundamentalsatz für Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (Q1471294)

\(\Sigma\) sei ein Rationalitätsbereich, der nicht nur aus Konstanten besteht, sondern wenigstens eine Funktion der unabhängigen Veränderlichen \(x\) enthält. Verf. beweist: Zu jeder Matrix \(\mathfrak M\) mit Koeffizienten aus \(\Sigma\) existiert eine Begleitmatrix \(\mathfrak B\), die den gleichen Grad wie \(\mathfrak M\) hat und deren Koeffizienten \(\Sigma\) angehören, so daß\ \(\mathfrak M\) und \(\mathfrak B\) gegenseitig von derselben Art sind, d. h. zu \(\mathfrak M\) lassen sich zwei Matrizen des Grades von \(\mathfrak M\) finden, nämlich die Begleitmatrix \(\mathfrak B\) und eine Matrix \(P\) von nicht verschwindender Determinante, beide mit Koeffizienten aus \(\Sigma\), so daß\ die symbolische Matrizengleichung \({\mathfrak B}=-P'P^{-1}+P{\mathfrak M}P^{-1}\) besteht, wobei \(P'\) aus \(P\) durch Differentiation der Koeffizienten von \(P\) hervorgeht und \(P^{-1}\) die zu \(P\) reziproke Matrix ist. Unter einer Begleitmatrix \(\mathfrak B\) wird die zu dem besonderen Differentialsystem \[ \frac{dy_1}{dx}-y_2,\frac{dy_2}{dx}-y_3,\dots,\frac{dy_{n- 1}}{dx}-y_n,\frac{dy_n}{dx}+ b_1y_1+b_2y_2+\cdots+b_ny_n \] zugehörige Matrix \[ \left\| \begin{matrix} 0 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \dots & 0 \\ \vdots & & & & \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -1 \\ b_1 & b_2 & b_3 & \dots & b_n \end{matrix}\right\| \] verstanden. Für den angegebenen Satz sei mit Rücksicht auf die vorstehend besprochenen Arbeiten des Verf. bemerkt, daß\ es sich hier nur um eine Einzelmatrix, nicht um einen Matrizenkomplex handelt und daß\ \(\Sigma\) eine wirkliche Funktion von \(x\) enthalten muß. In der Ausdrucksweise der Theorie der linearen homogenen Differentialsysteme besagt der erhaltene Satz folgendes bisher nicht bewiesene, auch für die Übertragung der \textit{Picard-Vessiot}schen Theorie von einer linearen homogenen Differentialgleichung auf ein System wichtige Resultat: In einem Rationalitätsbereiche, der nicht nur Konstanten enthält, ist ein System von \(n\) linearen homogenen Differentialgleichungen erster Ordnung mit \(n\) unbekannten Funktionen stets einer linearen homogenen Differentialgleichung \(n\)-ter und nicht niedrigerer Ordnung mit einer unbekannten Funktion äquivalent. Sei nämlich \(\left(\frac{dy}{dx}\right)+{\mathfrak M}(y)\) die symbolische Schreibweise des linearen homogenen Differentialsystems \(\frac{dy_i}{dx}+\sum_{s=1}^n m_{is}y_s(i=1,2,\dots,n)\) mit Koeffizienten aus \(\Sigma\), so kann man in \(\Sigma\) stets \(n\) Funktionen \(p_{11},p_{12},\dots,p_{1n}\) von folgender Art finden: Bildet man unter Berücksichtigung von \(\frac{dy_i}{dx}+\sum_{s=1}^n m_{is}y_s=0\) aus \(z_1=p_{11}y_1+p_{12}y_2+\cdots+p_{1n}y_n\) die Abgeleiteten \(\frac{dz_i}{dx}=p_{21}y_1+p_{22}y_2+\cdots+p_{2n}y_n, \frac{d^2z_i}{dx^2}=p_{31}y_1+p_{32}y_2+\cdots+p_{3n}y_n\) usw., so sind die ersten \(n\) Funktionen \(z_1,\frac{dz_1}{dx},\cdots,\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\) linear unabhängig; besteht zwischen den notwendig in Abhängigkeit sein müssenden Funktionen \(z_1,\frac{dz_1}{dx},\dots,\frac{d^nz_1}{dx^n}\) die Relation \(b_1z_1+b_2\frac{dz_1}{dx}+\cdots+b_n\frac{d^{n-1}z_1}{dx^{n- 1}}+\frac{d^nz_1}{dx^n}=0\), so hat man \({\mathfrak B}P=P'+P\mathfrak M\), wobei \(\mathfrak B\) die oben beschriebene, aus den Größen \(b_1,b_2,\dots,b_n\) gebildete Begleitmatrix und \(P\) die Matrix \(\| p_{ik}\| \;(i,k=1,2,\dots,n)\) von nicht verschwindender Determinante bedeuten. (II 4.)