Bestimmung der Invarianten der gewöhnlichen Differentialgleichungen 3. Ordnung in bezug auf die Punkttransformationen. (Q1471296)

Was \textit{A. Tresse} in seiner \textit{Preisschrift} (F. d. M. 27, 254 (JFM 27.0254.*), 1896) für die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung zwischen \(x\) und \(y\) abgeleitet hat, führt der Verf. hier für die Gleichung 3. Ordnung \(y'''=\omega(x,y,y',y'')\) durch, indem er ihre Invarianten gegenüber der unendlichen Gruppe aller Punkttransformationen bestimmt. Er findet eine relative Invariante von 2. Ordnung in den Ableitungen von \(\omega\), sechs solche von 3. Ordnung und für \(n\geqq 4\) immer \({n\choose 3}+3{n-1\choose 2}+4n-9\) von \(n\)-ter Ordnung. Das identische Verschwinden der Invariante 2. Ordnung und dreier von den Invarianten 3. Ordnung ist notwendig und hinreichend, damit die Differentialgleichung durch Punkttransformation auf die Form \(y'''=0\) zurückführbar sein soll. In etwas anderer Form hat \textit{K. Zórawski} diese Bedingungen schon früher angegeben (Krak. Anz. 1897, 303). Aus je drei relativen Invarianten kann eine absolute Invariante abgeleitet werden; solcher absoluten Invarianten gibt es fünf von 3. Ordnung und für \(n\geqq 4\) ebensoviele wie relative Invarianten. Aus den relativen Invarianten bis zur 5. Ordnung kann man durch Anwendung von vier Differentialparametern alle relativen Invarianten höherer Ordnung ableiten. Zum Schlusse deutet der Verf. an, wie man auf Grund der Bestimmung der Invarianten die Frage beantworten kann, wann man zwei vorgelegte Differentialgleichungen 3. Ordnung durch Punkttransformation in einander überführen kann.