Invariant properties of ordinary differential equations of 3rd order with respect to contiguous transformations. (Q1471297)

Während eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung gegenüher den Berührungstransformationen keine Invarianten besitzt, hat eine Gleichung dritter Ordnung \(y'''=\omega(x,y,y',y'')\) deren schon eine große Anzahl. Der Verf. findet eine relative Invariante von dritter Ordnung in den Ableitungen von \(\omega\), zwei von vierter Ordnung, 16 von fünfter Ordnung und für \(n\geqq 6\;{n-1\choose 3}+3{n- 2\choose 2}+3(n-4)+1\) solche von \(n\)-ter Ordnung. Soll die Gleichung durch Berührungstransformation auf die Form \(y'''=0\) gebracht werden können, so ist notwendig und hinreichend, daß\ die Invariante dritter Ordnung und eine der Invarianten vierter Ordnung identisch verschwinden. Aus je drei relativen Invarianten kann eine absolute abgeleitet werden. Solcher absoluter Invarianten gibt es eine von vierter Ordnung und für \(n\geqq 5\) ebensoviele wie relative. Ist die relative Invariante dritter Ordnung mehr identisch Null, so kann man durch Anwendung von vier Differentialparametern und von vier relativen Invarianten (der von dritter Ordnung, einer von vierter Ordnung und zweier von fünfter Ordnung) alle übrigen relativen Invarianten fünfter Ordnung berechnen und damit auch alle übrigen von beliebiger Ordnung. Verschwindet die Invariante dritter Ordnung, so genügt die Kenntnis aller relativen Invarianten sechster Ordnung, um durch Anwendung von Differentialparametern die übrigen zu berechnen. Zum Schlusse deutet der Verf. an, wie man auf Grund der Bestimmung der Invarianten die Lage beantworten kann, wann zwei vorgelegte Differentialgleichungen dritter Ordnung durch Berührungstransformation ineinander überführbar sind. Soll die Gleichung \(y'''=\omega\) insbesondere in eine lineare Gleichung überführbar sein, so muß\ \(\omega\) einem System von sechs partiellen Differentialgleichungen genügen, das in einfacher Weise aus den Invarianten gebildet ist.