On necessary and sufficient conditions for the existence of singular solutions of ordinary algebraic differential equation of the first order. (Q1471298)

\textit{M. Hamburger} hat J. für Math. 112, 1893 entscheiden gelehrt, ob eine Lösung einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung singulär oder partikulär ist oder beides zugleich. Der Verf. gibt zuerst eine kurze Darstellung dieser \textit{Hamburger}schen Theorie. Er betrachtet sodann eine algebraische Gleichung \(F(x,y,y')=0\), von der \(y=u(x)\) eine bekannte Lösung ist, und führt diese durch die Substitution \(y=u(x)+z\) über in: \(\sum a_{rs}(x)z^rz'^s=0\), wo \[ a_{rs}(x)=\frac{1}{r!s!}\left[\frac{\partial^{r+s}F}{\partial y^r\partial y^{\prime s}}\right]_{y=u(x),y'=u'(x)}. \] Auf diese Gleichung wendet er das bekannte Verfahren von \textit{Puiseux} an, das Entwicklungen von \(z'\) nach Potenzen von \(z\) liefert, und gelangt so zu Kriterien dafür, ob \(y=u(x)\) eine singuläre Lösung ist oder nicht. Sind \(a_{0,\nu- 1},a_{10},\dots,a_{\nu-1,0}\) alle identisch Null, aber \(a_{0\nu}\) und \(a_{\mu 0}\) nicht, sind ferner alle \(a_{\alpha\beta}\) gleich Null, für die \(\alpha:\mu+\beta:\nu<1\), so ist \(y=u(x)\) singulär oder partikulär, je nachdem \(\mu<\nu\) oder \(\mu\geqq \nu\). Verschwinden die eben erwähnten \(a_{\alpha\beta}\) nicht alle, so setzt man \(z'=\Theta z\), konstruiert nach \textit{Puiseux} das zugehörige \textit{Newton}sche Polygon und bestimmt die auftretenden Exponenten \(\lambda\). Sind \(\lambda_1,\dots,\lambda_\sigma\) diese Exponenten, so ist \(y=u(x)\) singulär, wenn alle \(\lambda_\kappa<1\), partikulär, wenn alle \(\lambda_\kappa\geqq 1\), beides, wenn keiner von diesen Fällen eintritt. Den Schluß\ der Arbeit bilden Anwendungen auf Beispiele. Dem Wesen der Sache nach enthält ja die Arbeit gegenüber der \textit{Hamburger}schen nichts neues, immerhin verdient die bis ins Einzelne durchgeführte Aufstellung der Kriterien Beachtung.