Über die Gleichverteilungssätze in statistischen Gesamtheiten. (Q1471391)

Die einzige statistische Gesamtheit, die eine logisch einwandfreie Definition zuläßt, ist die Zeitgesamtheit Daher erscheint es angebracht, zu untersuchen, ob bzw. wieweit die Gleichverteilungssätze der kinetischen Energie und des Virials in dieser Gesamtheit gelten. In einfachen Fällen, die eine vollständige Integration zulassen, wie bei den Schwingungen eines Systems um seine stabile Gleichgewichtslage, treffen sie jedenfalls nicht zu. Es gelingt aber keineswegs, notwendige Bedingungen für das Bestehen einer Gleichverteilung aufzustellen, selbst dann nicht, wenn man sich auf die Systeme beschränkt, deren Gleichungen durch Separation der Variablen integrierbar sind. Ja auch hinreichende Bedingungen lassen sich nur in einer Form anschreiben, die keinerlei Einblick in das Wesen der auf diese Weise herausgehobenen Systeme ermöglicht Bezeichnen nämlich \(f_{i, k}(q_i)\) die \(n^2\) Funktionen der generalisierten Koordinaten \(q_i\), durch die sich nach der Habilitationsschrift von \textit{Stäckel} in den durch Separation der Variablen integrierbaren Fällen die Koeffizienten der \textit{Hamilton-Jacobi}schen Gleichungen ausdrücken lassen, so müssen die Integrale \[ \lim_{t=\infty} \frac 1t \int_{q_i(-t)}^{q_i(t)} \frac{f_{ik}(q_i)dq_i}{p_i} \quad (i=1, 2, \dots, h;k=1, 2, \dots, n), \] wo \(p_i\) die generalisierten Geschwindigkeiten bezeichnen, verschwinden. Für periodische oder bedingt periodische Systeme ergibt sich eine noch etwas engere aber durchaus nicht durchsichtigere Formulierung.