Über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der \textit{Einstein}schen Gravitationstheorie. (Q1471661)

Die Arbeit verfolgt den Zweck; die \textit{Einstein}schen Erhaltungssätze in mathematisch durchsichtiger Form abzuleiten, was besonders wegen des nicht allgemein kovarianten Charakters der \textit{Einstein}schen Energiekomponenten von Interesse ist. Der Verf. betrachtet eine Funktion \(K\) der \(g^{\mu \nu}\) und ihrer ersten und zweiten Ableitungen \(g_\varrho^{\mu \nu}\) bzw. \(g_{\varrho \sigma}^{\mu \nu}\); \(w_1, \dots, w_4\) seien die unabhängigen Koordinaten. Der Verf. betrachtet das Integral \(I=\int Kd \omega\), wo \(d \omega=\sqrt g dw_1 dw_2 dw_3 dw_4\). Er erteilt dann den \(w^\mu\) infinitesimale Zuwächse \(p^\mu\) und den \(g^{\mu \nu}\) die infolge der Invarianz der quadratischen Form \(\varSigma g+{\mu \nu} dw^\mu dw^\nu\) ihnen entsprechenden Zuwächse \(p^{\mu \nu}\). Er berechnet dann die entsprechende Variation \(\delta I\) des Integrals, wobei auch die Integrationsgrenzen gemäß\ den \(p^\mu\) variiert werden. Gibt man insbesondere den \(p^\mu\) die konstanten Werte \(p_0^\mu\) und den \(p^{\mu \nu}\) die diesen entsprechenden Werte \(p_0^{\mu \nu}\), so muß\ offenbar \(\delta I\) identisch in diesen Zuwächsen verschwinden, weil \(K\) von den \(w^\mu\) nicht explizit abhängt. Das Nullsetzen der Koeffizienten der \(p_0^\mu\) im Integranden ergibt dann die vier Identitäten: \[ (1) \quad \sum_{\mu \nu} \sqrt g K_{\mu \nu} g_\tau^{\mu \nu} \equiv 2 \sum_\sigma \frac{\partial \sqrt g U_\tau^\sigma}{\partial w^\sigma}; \] dabei ist \(K_{\mu \nu}\) der \textit{Lagrange}sche Ausdruck: \[ \sqrt g K_{\mu \nu} = \frac{\partial \sqrt g K}{\partial g^{\mu \nu}} - \sum_\varrho \frac{\partial \left( \frac{\partial \sqrt g K}{\partial g_\varrho^{\mu \nu}} \right)}{\partial x^\varrho} + \sum_{\varrho \sigma} \frac{\partial^2 \left( \frac{\partial \sqrt g K}{\partial g_{\varrho \sigma}^{\mu \nu}} \right)}{\partial w^\varrho\partial w^\sigma} \] und \[ 2U_\tau^\sigma=K \delta_\tau^\sigma - \sum_{\mu \nu} \frac{\partial K}{\partial g_\sigma^{\mu \nu}} g_\tau^{\mu \nu} - \sum_{\mu \nu \varrho} \frac{\partial K}{\partial g_{\varrho \sigma}^{\mu \nu}} g_{\varrho \tau}^{\mu \nu} + \frac{1}{\sqrt g} \sum_{\mu \nu \varrho} \frac{\partial \left( \frac{\partial \sqrt g K}{\partial g_{\varrho \sigma}^{\mu \nu}} \right)}{\partial w^\varrho} g_\tau^{\mu \nu}. \] Ist nun \(K\) eine invariante gegenüber allen Transformationen der \(w^\mu\), dann ist \(K_{\mu \nu}\) ein allgemein kovarianter Tensor, und für \(K\) gelten die Identitäten \[ (2)\quad \sqrt g K_{\mu \nu} g+\tau^{\mu \nu} + 2 \frac{\partial \sqrt g K_\tau^\sigma}{\partial w^\sigma} \equiv 0, \] wobei die Summenzeichen in üblicher Weise weggelassen sind. Die Identitäten (1) und (2) gelten in jedem beliebigen Koordinatensystem, \(U_\tau^\sigma\) selbst ist aber ein nur linearen Transformationen gegenüber invarianter Tensor. Wenn wir die Feldgleichungen \({\mathfrak K}_\tau^\sigma+\kappa {\mathfrak T}_\tau^\sigma=0\) anwenden, so folgt aus (1) und (2) der \textit{Einstein}sche Erhaltungssatz: \[ \frac{\partial \left({\mathfrak T}_\tau^\sigma - \frac 1 \kappa {\mathfrak U}_\tau^\sigma \right)}{\partial w^\sigma}=0, \] der selbst allgemein invariant ist, ohne daß\ das für \({\mathfrak U}_\tau^\sigma\) der Fall ist.