Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich-geschlossenen Welt. (Q1471662)

Der Verf. bringt zunächst für die \textit{Einstein}sche Form des Energiesatzes im Gravitationsfeld (Berl. Ber. 1918, 448; s. das Ref. auf S. 1296) einen sehr durchsichtigen Beweis. Es sei \(U_\tau^\sigma\) der \textit{Einstein}sche, nicht allgemeine kovariante Energietensor des Feldes. Sei ferner \[ {\mathfrak V}_\tau^\sigma={\mathfrak T}_\tau^\sigma+\frac 1\kappa {\mathfrak U}_\tau^\sigma, \] so lautet die \textit{Einstein}sche Differentialform des Erhaltungssatzes \(\frac{\partial {\mathfrak V}_\tau^\sigma}{\partial w^\sigma}=0\), wenn \(w^\sigma\) die Koordinaten sind. Der Verf. betrachtet nun drei Linienelemente \(d' w^\sigma, d'' w^\sigma\) und \(d''' w^\sigma\) und bildet das Integral \[ I_\tau=\iiint \begin{vmatrix} {\mathfrak V}_\tau^1 & {\mathfrak V}_\tau^2 & {\mathfrak V}_\tau^3 & {\mathfrak V}_\tau^4 \\ d'w^1 & \dots & \dots & d'w^4 \\ d''w^1 & \dots & \dots & d''w^4 \\ d'''w^1 & \dots & \dots & d'''w^4 \end{vmatrix} . \] Es sei wie bei \textit{Einstein} das Feld in eine gravitationslose Außenwelt eingebettet. Dann erstreckt der Verf. das Integral über einen beliebigen dreidimensionalen Querschnitt einer Weltröhre, die das ganze von Null verschiedene Feld einschließt. Durch Verwandlung des Integrals in ein Volumintegral und Anwendung der Differentialform des Erhaltungssatzes zeigt der Verf., daß\ \(I_\tau\) für alle Querschnitte und in allen Koordinatensystemen denselben Wert hat und nur von den Koordinaten im feldfreien Raum abhängt, also ein \textit{Minkowski}scher Vierervektor ist. Wählen wir speziell einen Querschnitt \(w^4\)=konst., so geht das Integral über in \[ I_\tau=\int {\mathfrak V}_\tau^4 \begin{vmatrix} \l \quad & \l\quad & \l\\ d'w^1 & d'w^2 & d'w^3 \\ d''w^2 & d''w^2 & d''w^3 \\ d'''w^1 & d'''w^2 & d'''w^3 \end{vmatrix}, \] \[ \text{d. i. in gewöhnlicher Schreibweise}=\int {\mathfrak V}_\tau^4 dw^1 dw^2 dw^3, \] also gerade die \textit{Einstein}sche Energiedefinition. In einem zweiten Abschnitt gibt der Verf. eine Darstellung der \textit{Einstein}schen Theorie einer geschlossenen Welt und führt auch für diesen Fall seine Energiebetrachtungen durch. Ein dritter Abschnitt ist schließlich der Hypothese von \textit{de Sitter} gewidmet, daß\ nicht der dreidimensionale Raum von konstanter Krümmung sei, zu dem die Zeit dann in \(ds^2\) als ein Glied \(dt^2\) hinzutritt (\textit{Klein} nennt deshalb die \textit{Einstein}sche Welt Zylinderwelt), sondern die vierdimensionale Welt selbst von konstanter Krümmung sei. Der Verf. findet die \textit{de Sitter}schen Rechnungen für richtig, glaubt aber, daß\ die \textit{de Sitter}sche Welt nicht die von \textit{Einstein} gestellten Anforderungen physikalisch erfüllt.