\(ds^2\) \textit{einstein}iani in campi \textit{newton}iani. II: Condizioni di integrabilità e comportamento geometrico spaziale. (Q1471686)

Die Differentialgleichungen für das Gravitationsfeld im leeren Raum \(\left( \alpha_{ik} + \frac{V_{ik}}{V}=0 \right)\) ziehen, weil die \(V_{ik}\) zweite kovariante Ableitungen einer skalaren Funktion \(V\) sind, wegen der Identität, die zwischen den dritten kovarianten Ableitungen einer skalaren Funktion besteht, gewisse Integrabilitätsbedingungen nach sich. Sie lauten, wenn wir statt \(V\) vermöge der Gleichung \[ V=ce^\nu \] eine neue Variable \(\nu\) einführen: \[ (1)\quad \alpha_{rpq}-\alpha_{rqp}+\alpha_{rp}\nu_q - \alpha_{rq} \nu_p - \sum_{s=1}^3 a_{rs, pq}\nu^s=0 \quad (r, p, q=1, 2, 3). \] Der Verf. schreibt dann diese Gleichungen in der Schreibweise der natürlichen Geometrie in bezug auf drei aufeinander orthogonale willkürliche Kurvenkongruenzen, die durch die Einheitsvektoren \(\lambda_i^r(i=1, 2, 3)\) gegeben sind. Bezeichnen wir die Komponente des Krümmungstensors in dieser Darstellung mit \(\gamma_{ik}\), \[ \gamma_{ik}=\sum_{r, q=1}^3 \alpha_{rq} \lambda_i^r \lambda_k^q \] und die ``Rotationskoeffizienten'' im Sinne von \textit{Ricci} mit \(\gamma_{hik}\), \[ \gamma_{hik}=\sum_{r, q=1}^3 \lambda_{h| rq} \lambda_i^r \lambda_k^q, \] das Bogenelement der \(i\)-ten Kongruenz mit \(dl_i\), so lauten die Bedingungen (1) \[ (2)\quad \sum_{k=1}^3 \frac{d \gamma_{ik}}{dl_k} + \sum_{h, k=1}^3 (\gamma_{hk} \gamma_{hik} + \gamma_{ih} \gamma_{hkk} )=0. \] Der Verf. führt insbesondere die drei Scharen von Hauptkrümmungslinien als die der natürlichen Geometrie zugrundeliegenden Kurvenkongruenzen ein. Dann werden die \(\gamma_{ik}\) einfach \(\gamma_{ik}=\varepsilon_{ik} \omega_i\), wo die \(\omega_i\) die drei Hauptkrümmungen sind, und \(\varepsilon_{ik}=\begin{cases} 1 \quad \text{für} \quad i=k \\ 0 \quad \text{für}\quad i \neq k \end{cases}\). Dann ist wegen \(M=0\) auch \(\sum_{i=1}^3 \omega_i=0\). Führen wir diese Werte für \(\gamma_{ik}\) die Beziehungen (2) ein, so erhalten wir zwei Gruppen von Gleichungen: \[ (\text{III})\quad \delta_i \gamma_i = \tilde{\omega} \quad (i=1, 2, 3), \] dabei ist \(\delta_i=\omega_{i+2}-\omega_{i+1}\), \(\gamma_i=\gamma_{i+1, i+2, i}\) und \(\tilde{\omega}\) irgendeine vom Index \(i\) unabhängige Größe; \[ (\text{IV})\quad \frac{d \omega_k}{dl_i}+(\omega_i-\omega_k) \gamma_{hik} + \frac{d \nu}{dl_i} (\omega_k-\omega_j)=0, \] wo \(i, k, j\) voneinander verschieden sind. Aus (III) und (IV) folgt \[ (3)\quad \frac{d \omega_i}{dl_i}+\sum_{k=1}^3 (\omega_k- \omega_i) \gamma_{kik}=0 \quad (i=1, 2, 3). \] Der Verf. diskutiert dann die Typen der Lösungen. Nach (III) ergeben sich die beiden Haupttypen, Typus A: \(\tilde{\omega} \neq 0\), Typus B: \(\tilde{\omega}=0\) im Falle \(A\) kann \textit{keine} der drei Kongruenzen von Hauptkrümmungslinien eine Normalenkongruenz sein. Im Falle B unterscheidet man drei Unterfälle. Der Fall B\(_1\): Alle \(\delta_i\) sind von Null verschieden, daher alle \(\gamma_i=0\); alle drei Kongruenzen sind dann Normalenkongruenzen, der Raum ist ein ``Normalraum'' im Sinne von \textit{Bianchi}, alle drei Hauptkrümmungen sind voneinander verschieden. Der Fall B\(_2\): \textit{Nur} \(\delta_3=0\), daher \(\gamma_1=\gamma_2=0\); daher ist nur eine (die dritte) Kongruenz eine Normalenkongruenz. Der Fall B\(_3\): Alle \(\delta_i=0\), d. h. alle Hauptkrümmungen sind einander gleich und daher nach dem unmittelbar aus (3) fließenden \textit{Schur}schen Satz konstant. Der Verf diskutiert dann den Unterfall B\(_3\) näher und zeigt, daß\ er dem Fall eines homogenen Gravitationsfeldes entspricht. Das Linienelement ist das eines Raumes konstanter Krümmung, die Wegen \(M=\sum_i \omega_i=0\) verschwindet.