\(ds^2\) \textit{einstein}iani in campi \textit{newton}iani. III: Formule ausiliarie. (Q1471687)

Zuerst behandelt der Verf. die Veränderungen in den Formeln für die kovariante Differentiation, wenn man als Fundamentalform anstatt der Differentialform in \(n\) Variablen \[ ds^2=\sum_{i, k=1}^n a_{ik} dx_i dx_k \] die durch konforme Transformation daraus hervorgehende Form \[ ds'2=e^{2 \tau}ds^2 \] zugrunde legt, wo \(\tau\) eine beliebige Funktion der Koordinaten \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ist. Bezeichnen wir die zur Form \(ds'{}^2\) gehörenden kovarianten Differentialausdrücke durch dieselben Buchstaben wie die in bezug auf \(ds^2\), aber mit Strichen versehen, so ist \[ G_{ik}'=G_{ik}+(n-2)(\tau_{ik} - \tau_i \tau_k) + a_{ik} \{ \triangle_2 \tau + (n-2) \triangle \tau \}, \] und für \(n = 3\) \[ \alpha_{ik}'=\alpha_{ik}+\tau_{ik} - \tau_i \tau_k - a_{ik} \triangle_2 \tau, \] wo \(\tau_i, \tau_{ik}\), die erste bzw. zweite kovariante Ableitung von \(\tau\), und \(\triangle \tau\) bzw. \(\triangle_2 \tau\) der erste bzw. zweite Differentialparameter in \(\tau\) ist, alles bezogen auf die Form \(ds^2\). Ferner behandelt der Verf. die Änderungen in den Formeln, die entstehen, wenn anstatt der Form \(ds^2\) eine Form in \(n+1\) Variablen \[ ds'{}^2=A^2 dx_0^2+ds^2 \] zugrunde gelegt wird, wo \(A\) nur von den Variablen \(x_1, \dots, x_n\) abhängt. Dann ist \[ G_{ik}'=G_{ik}+\frac{A_{ik}}{A}, \quad G_{oi}'=0 \quad(i, k=1, 2, \dots, n), \quad G_{00}'=A \triangle_2 A. \] Ist insbesondere \(n = 2\), so reduziert sich der Krümmungstensor für dieses Bogenelement auf die skalare \textit{Gauß}sche Krümmung \(K\) und es wird \[ G=-2K, \quad \tfrac 12 G'=-K+\frac{\triangle_2A}{A}, \] und wenn wir den Krümmungstensor des dreidimensionalen Linienelements \(ds^2+A^2 dx_0^2\) jetzt einfach mit \(\alpha_{ik}\) bezeichnen, \[ \alpha_{ik}=\frac{A_{ik}}{A}-\frac{\triangle_2 A}{A} a_{ik}, \quad a_{i0}=0 \quad(i, k=1, 2), \quad \alpha_{00}=A^2K. \]