\(ds^2\) \textit{einstein}iani in campi \textit{newton}iani. IV: Il sottocaso B\(_2\): Riduzione delle equazioni differenziali. (Q1471688)

Im Unterfalle B\(_1\) sind zwei Hauptkrümmungen einander gleich. Bezeichnen wir die dritte einfach mit \(\omega\), so lassen sich alle durch diese ausdrücken; \(\omega_1 = \omega_2=-\frac{\omega}{2}, \omega_3=\omega\). Die \(x_3\)-Richtung (die axiale) ist ausgezeichnet; die \(x_3\)-Koordinatenlinien bilden eine Normalenkongruenz. Der Verf. zeigt, daß\ auch in diesem Falle der Raum ein \textit{Bianchi}scher Normalraum ist und daß\ wir irgend zwei durch die \(x_3\)-Kurve gehende aufeinander orthogonale Flächenscharen als Flächen \(x_1\)=konst. und \(x_2\)=konst. annehmen können und in jedem Falle die \(x_1\)- und \(x_2\)-Linien Hauptkrümmungslinien sind. Führen wir statt der Lichtgeschwindigkeit \(V\) wieder die Größe \(\nu\) durch \(V = V_0e^\nu\) ein und ebenso für \(\omega\) die Größe \(\tau\) durch \(\omega=\omega_0 e^{-3\tau}\), so lassen sich die Feldgleichungen in folgender Weise reduzieren: Der Verf. zeigt zunächst, daß\ \(e^{-\tau}\) sich als Summe einer Funktion von \(x_1\) und \(x_2\) und einer Funktion von \(x_3\) allein ausdrücken läßt: \[ (1)\quad e^{-\tau}=\xi(x_1, x_2)+\eta(x_3). \] Ferner ist die Differenz von \(\nu\) und \(\tau\) eine Funktion von \(x_3\) allein: \[ (2)\quad \nu-\tau=\zeta(x_3). \] Wenn wir dann mit \(\eta'\) und \(\zeta'\) die Ableitungen dieser Funktionen bezeichnen, so genügen \(\xi, \eta, \zeta\) den folgenden Differentialgleichungen: \[ \begin{matrix}\l\qquad & \\ (3) & \eta''-\eta'\zeta'=0,\\ (4) & \xi_{ik}-\tfrac 12 \triangle_2 \xi a_{ik}=0 \quad (i, k=1, 2),\\ (5) & (K+\zeta''+\zeta'{}^2 )e^{-\tau} - 2\eta'' +\triangle_2 \xi=0,\\ (6) & Ke^{-2\tau}+2(\triangle_2 \xi+\eta'')e^{-\tau} - 3(\triangle \xi+\eta'{}^2)=0.\end{matrix} \] Dieses Ergebnis erhält der Verf. auf die folgende Art, durch die sich auch die Bedeutung von \(K\) und \(a_{ik}\) erklärt. Wendet man in den Gleichungen IV (vgl. das zweitletzte Ref.) die Annahme des Unterfalles B\(_2\) an, so ergibt sich, daß\ das räumliche Linienelement \(dl^2\) sich in die Form \[ e^{2\tau} (d\sigma^2+dx_3^2) \] setzen läßt, wobei \(d \sigma^2\) eine quadratische Differentialform in zwei Veränderlichen ist, deren Koeffizienten wir mit \(a_{ik}\) und deren \textit{Gauß}sche Krümmung wir mit \(K\) bezeichnen. Dieses Linienelement setzen wir in die allgemeinen Gleichungen des statischen Feldes ein, wenden die Hilfsformeln von Mitteilung III (vgl. das vorige Ref.) an und erhalten die Gleichungen (3), (4), (5), (6). Für die Hauptkrümmung \(\omega\) selbst ergibt sich \[ (7)\quad \omega=Ke^{-2\tau}+\triangle_2 \xi e^{-\tau} - (\triangle \xi + \eta'{}^2). \] Die Integration des Gleichungssystems führt der Verf in den nächsten Mitteilungen durch.