\(ds^2\) \textit{einstein}iani in campi \textit{newton}iani. VI: Il sottocaso B\(_2\): Soluzioni quadrantali \((\eta=0)\). (Q1471690)

Der Verf. zeigt zunächst, daß\ die Gleichungen (4) (vgl. das zweitletzte Ref.) sich durch die folgenden ersetzen lassen: \[ \triangle \xi=K_0 \Xi, \quad \triangle_2 \xi=K_0 \Xi, \] wo \(\Xi\) eine Funktion der einzigen Variablen \(\xi\) ist. Die Krümmung des zweidimensionalen \(d \sigma^2\) läßt sich dann noch durch die Funktion \(\Xi\) ausdrücken, es ist einfach \[ K=-\tfrac 12 K_0 \Xi''; \] \(d \sigma^2\) selbst läßt sich durch Einführung einer geeigneten Veränderlichen \(\varphi\) auf die Form \[ (1)\quad d \sigma^2 = \frac{1}{K_0} \left( \frac{d \xi^2}{\Xi}+ \Xi d \varphi^2 \right) \] bringen. Der Verf. behandelt dann den Spezialfall \(\eta=0\). Dann wird \(e^{- \tau}=\xi\), und daher, wenn wir \( x_3=\frac{1}{\sqrt{K_0}} \psi\) setzen, \[ (2)\quad dl^2=\frac{1}{K_0 \xi^2} \left\{ \frac{d \xi^2}{\Xi} + \Xi d \varphi^2 + d \psi^2 \right\}. \] Für \(V\) ergibt sich \[ (3)\quad V=V_0 \frac{e^\varphi}{\xi}. \] Es sind also auch hier zwei Funktionen je einer Veränderlichen \(\Xi(\xi), \zeta(\psi)\) zu bestimmen, für die sich aus den Felggleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen ergeben. Als deren Lösung ergibt sich: \[ \Xi=\mu \xi^2 + \varepsilon \xi^2, \quad e^\zeta=\cos(\sqrt{\mu \varphi}) \quad \text{für} \quad \mu>0 \quad \text{und analoge Ausdrücke für}\quad \mu \leqq 0. \] Die ausgezeichnete Schar von Krümmungslinien sind hier wie früher die \(\psi\)-Kurven. Hingegen sind die Gefällslinien der Krümmung \((\omega)\) jetzt wegen \(\omega=-\varepsilon K_0 \xi^3\) die \(\xi\)-Kurven, stehen also auf den axialen Hauptkrümmungslinien senkrecht. Daher nennt der Verf. die Lösung eine ``quadrantale''. Aus Gleichung (3) folgt ferner, daß\ die Äquipotentialflächen \(V\)=konst. mit keiner der Koordinatenflächen zusammenfallen, und daher die Kraftlinien schief zu den Krümmungslinien liegen.