\(ds^2\) \textit{einstein}iani in campi \textit{newton}iani. VII: Il sottocaso \(B_2\): Soluzioni oblique. (Q1471691)

Der Verf. behandelt den allgemeinen Fall, wo \(\xi\) und \(\eta\) von Null verschieden und. An Stelle der Gleichung (2) (vgl. das vorige Ref.) tritt dann \[ (1)\quad dl^2=\frac{1}{K_0(\xi+\eta)^2} \left\{ \frac{d \xi^2}{\Xi} + \frac{d \eta^2}{H} + \Xi d \varphi^2 \right\}. \] Durch Integration der Feldgleichungen, wie sie sich durch Einsetzen des Linienelementes (1) ergeben, erhält man \[ (2)\quad \begin{matrix} \Xi(\zeta)=\varepsilon(4\xi^4-g_2\xi-g_3), \quad H(\eta)=\varepsilon(4 \eta^3-g_2\eta+g_3), \\ V=V_0 \frac{\sqrt{H(\eta)}}{\xi+\eta}, \quad \omega=-4\varepsilon (\xi+\eta)^3, \end{matrix} \] wo \(g_2\) und \(g_3\) Konstante sind. Die ausgezeichnete Krümmungslinien (die \(\eta\)-Linien) stehen hier schief auf den Gefällslinien von \(\omega\), den Orthogonaltrajektorien der Flächenschar \(\xi+\eta\)=konst. und ebenso schief auf den Kraftlinien den Orthogonaltrajektorien der Flächenschar \(V\)=konst. Führt man an Stelle von \(\xi\) und \(\eta\) die neuen Veränderlichen \(u\) und \(v\) durch die Gleichungen \[ (3)\quad \left( \frac{d \xi}{du} \right)^2 = \Xi(\xi), \quad \left( \frac{d \eta}{dv} \right)^2=H(\eta) \] ein, so lassen sich wegen der Gleichung (2) die Größen \(\xi, \eta\) und infolgedessen auch \(V\) und \(\omega\) in \(u\) und \(v\) mit Hilfe der \textit{Weierstraß}schen \(\wp\)-Funktion ausdrücken. Es ist z. B. \(\xi=\wp(\sqrt{\varepsilon}u, g_2, g_3)\) usw.