De Planetenbeweging en de beweging van de maan volgens de theorie van \textit{Einstein}. (Planetenbewegung und Bewegung des Mondes gemäß\ \textit{Einstein}s Theorie.). (Q1471704)

Vgl. hierzu desselben Verf. erste und zweite Abhandlung: On \textit{Einstein}'s theory of gravitation and its astronomical consequences. (Monthly Notices 76, 699-728, 77, 155-184, 1916.) An Stelle der von \textit{Droste} (s. vorhin) gewählten Polarkoordinaten, in denen das \(ds^2\) für das Feld des Massenpunktes die Form \[ (1)\quad +ds^2=-\frac{dr^2}{1-\frac \alpha r} - r^2d \vartheta^2-r^2 \sin^2 \vartheta d \varphi^2 + \left( 1-\frac \alpha r \right) dt^2 \] hat, wählt \textit{de Sitter} solche Koordinaten, daß \[ (2)\quad +ds^2=-(1+\beta)(dr_1^2 + r_1^2 d \vartheta^2 + r_1^2 \sin^2 \vartheta d \varphi^2) + (1+\gamma) dt^2, \] worin \(\beta\) und \(\gamma\) unendlich kleine Funktionen von \(r_1\) sind, deren erstere nur bis auf Größen erster Ordnung, deren letztere bis auf Größen zweiter Ordnung genau benötigt werden. (Den Übergang von (1) zu (2) vermittelt einfach eine Transformation: \(r=r_1 \left( 1+\frac{\alpha}{4r_1} \right)^2\). Anm. d. Ref.) Der Vorteil der Form (2) vor der Form (1) ist die Umgehung der von \textit{Droste} benötigten elliptischen Funktionen bei der Integration der Bewegungsgleichungen der Planeten. Da (2) gegenüber (1) nur eine andere Definition der radialen Längen bedeutet, während die Winkel ungeändert bleiben, findet \textit{de Sitter} die bekannte Formel für die Perihelbewegung genau wieder, wohingegen das dritte \textit{Kepler}sche Gesetz wegen der geänderten Länge der Halbachsen \(a\) eine Veränderung erfährt. Während z. B. bei \textit{Droste} für eine Kreisbahn das dritte \textit{Kepler}sche Gesetz \[ \frac{a^3}{T^2}=\frac{\alpha}{8\pi^2} \] genau gilt (\(T\) ist hier nicht die \textit{ganze} Periode, sondern die Dauer des Umlaufs von \(\varphi=0\) bis \(\varphi=2\pi\)), gilt bei \textit{de Sitter}: \[ a_1^3/T^2 \sim \frac{\alpha}{8\pi^2} \left( 1-3 \frac{\alpha}{2a_1} \right) \] (entsprechend der Transformation \(a^3 \sim a_1^3 \left( 1+\frac 32 \frac{\alpha}{a_1} \right)\). Anm. d. Ref.). Der Vergleich mit der Erfahrung, wobei die \textit{Newcomb}schen Werte für die klassischen Säkularstörungen der Planeten zugrundegelegt werden (bis auf eine Korrektur in der Präzessionskonstante), liefert die Beseitigung des Restgliedes in der Perihelbewegung des Merkur. Die kleinen noch verbleibenden Restglieder, unter denen die die Knotenbewegung der Venus und die Perihelbewegung des Mars betreffenden relativ am größten sind, zeigen keinerlei Gleichsinnigkeit; es erübrigt sich daher jede Hypothese über eine Rotation des Koordinatensystems wie bei \textit{Seeliger} und \textit{Anding}. Auch Korrekturen an den Massen der Planeten, namentlich des Merkur, sind überflüssig, da sie nach \textit{de Sitter} die Knotenbewegung der Venus nur dann völlig erklären würden, wenn sie unwahrscheinlich groß\ wären. Desgleichen entfällt natürlich die \textit{Seeliger}sche Hypothese über die Zodiakallichtmaterie. Sodann wendet sich \textit{de Sitter} zur Theorie des Mondes. Auf Grund der Lösung \textit{Drostes} für das \(n\)- Körperproblem läßt sich mittels umständlicher Rechnungen, die man ausführlich in der zitierten II. Abhandlung in den Monthly Notices findet, zeigen, daß\ es ausreichend ist, die Felder der Sonne für sich allein und der Erde für sich allein glatt zu superponieren. Es ergibt sich ein gleich großes säkulares Vorrücken des Perigäums und des Mondknotens im Betrage von \(1''\),91 per Jahrhundert. Leider sind die Beobachtungsfehler von der gleichen Größe, so daß\ derzeit eine Entscheidung über das Vorhandensein dieser von der \textit{Einstein}schen Theorie verlangten Knotenbewegung des Mondes nicht getroffen werden kann. (Die Existenz dieser Knotenbewegung folgt auch aus der später von \textit{Schouten}, Amst. Akad. Versl. 27, 214, 1918 abgeleiteten ``geodätischen Präzession'', wie \textit{A. Fokker}, Amst. Akad. Versl. 29, 612, 1920 bemerkt. Eine ``Parallelverschiebung'' eines unendlich kleinen starren Körpers in einem krummen Raum längs einer geschlossenen Kurve bringt diesen Körper nämlich nicht in die Ausgangslage zurück. Daher muß\ auch die Erdachse nach Vollendung eines Umlaufs längs der Ekliptik, abgesehen von der klassischen Präzession, eine andere Stellung als zuvor haben, da dieser Umlauf in dem durch das Schwerefeld der Sonne gekrümmten Raum stattfindet. Desgleichen weist auch die Ebene der Mondbahn eine solche Stellungsänderung, und zwar genau von dem obigen Betrage, auf. Anm. d. Ref.)