Eine neue formale Deutung der \textit{Maxwell}schen Feldgleichungen der Elektrodynamik. (Q1471721)

Der Verf. gibt eine kovariante Darstellung der \textit{Maxwell}schen Feldgleichungen, die nicht von zwei dualen Sechservektoren Gebrauch macht, sondern nur einen einzigen verwendet. Es seien \(\varPhi_\varrho\) die Komponenten des Viererpotentials. Dann ist \[ F_{\varrho \sigma}=\frac{\partial \varPhi_\varrho}{\partial x_\sigma} - \frac{\partial \varPhi_\sigma}{\partial x_\varrho} \] ein allgemein kovarianter Tensor. Es gilt für ihn identisch \[ \frac{\partial F_{\varrho \sigma}}{\partial x_\tau} + \frac{\partial F_{\sigma \tau}}{\partial x_\varrho} + \frac{\partial F_{\tau \varrho}}{\partial x_\sigma}=0. \] wo die linke Seite ein schiefsymmetrischer allgemein kovarianter Tensor dritter Stufe ist. Diese vier Gleichungen lassen sich als erstes Quadrupel der \textit{Maxwell}schen Feldgleichungen deuten. Aus \(F_{\varrho \sigma}\) bildet der Verf. nun durch Hinaufziehen der Indizes \[ {\mathfrak F}^{\mu \nu}=g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} F_{\alpha \beta}. \] Wenn dann \(I^\mu\) die Komponenten des Vierpotentials sind, so lautet das zweite Quadrupel der Feldgleichungen einfach: \[ \frac{\partial \sqrt g{\mathfrak F}^{\mu \nu}}{\partial x_\nu} = \sqrt g {\mathfrak J}^\mu. \] Für den Impulsenergietensor \({\mathfrak T}_\sigma^\nu\) des Feldes ergibt sich dann die übersichtliche Gestalt: \[ {\mathfrak T}_\sigma^\nu =-{\mathfrak F}^{\nu \alpha} F_{\sigma \alpha} + \tfrac 14{\mathfrak F}^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} \delta_\sigma^\nu. \]