Körper und Systeme rationaler Funktionen. (Q1471967)

Es handelt sich um Basisfragen bei beliebigen Systemen rationaler und ganzer rationaler Funktionen von endlich vielen Unbestimmten. Und zwar wird allgemein die Existenz der Rationalbasis bewiesen, während weiter auf dieser Grundlage Klassen von Integritätsbereichen aus Polynomen -- reguläre Bereiche -- angegeben werden, für die eine Integritätsbasis existiert; die letzteren Überlegungen werden noch auf ganzzahlige Bereiche übertragen. Daß\ nicht für jeden Polynombereich eine Integritätsbasis existiert, hat bekanntlich schon \textit{Hilbert} an Beispielen gezeigt. Die angewandten Methoden sind die der Körpertheorie; das hauptsächlichste Hilfsmitel ist ein Übertragungsprinzip, demzufolge man sich auf Bereiche beschränken kann, bei denen die Anzahl der Unbestimmten und die der algebraisch- unabhängigen Funktionen übereinstimmt; jedem System läßt sich nämlich ein so speziallsiertes isomorph zuordnen. Ein regulärer Bereich ist dann dadurch charakterisiert, daß\ ihm mindestens ein Bereich ohne ``Fundamentalpunkt'' isomorph zugeordnet werden kann, d, h, ein bei dem ~die Glieder höchster Dimension aller Polynome keine gemeinsame Nullstelle besitzen. Speziell für Körper läßt sich stets eine ausgezeichnete Rationalbasis angeben, ``Involutionsbasis'', die gegeben ist durch die Koeffizienten Fundamentalgleichung Körpers aller rationalen Funktionen in bezug auf den auf den gegebenen Körper, bzw. einen ihm isomorph zugeordneten. Diese Involutionsbasis geht für den Fall, daß\ der reguläre Polynombereich Körpereigenschaft besitzt, d. h. aus allen Polynomen eines Körpers besteht, eine ausgezeichnete Integritätsbasis dieses Bereiches über; im allgemeinen liefert sie nur eine Darstellung mit der Potenz eines festen Polynoms im Nenner.