On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five or seven. (Q1471970)

Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von \(s\) Quadraten ergibt sich für \(s \leqq 8\) aus der allgemeinen Theorie der quadratischen Formen (\textit{Eisenstein, Smith, Minkowski}). Eine ganz andere, für gerade \(s\) brauchbare und von \textit{Jacobi} begründete Methode beruht auf funktionentheoretischen Umformungen der \(s\)-ten Potenz der \(\vartheta\)-Reihe (\textit{Liouville, Glaisher, Ramanujan, Mordell}). \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} haben eine \textit{asymptotische} Formel aufgestellt für die Anzahl der Darstellungen einer Zahl \(n\) durch eine \(s\)-gliedrige Summe von \(k\)-ten Potenzen, gültig für große \(n\) (\textit{Waring}sches Problem). Spezialisiert man diesen asymptotischen Ausdruck auf \(k=2\), so kann man aus seinen funktionentheoretischen Eigenschaften schließen, daß\ er für \(s=5\) und 7 mit der \(s\)-ten Potenz von \(\vartheta\) identisch ist und daher die \textit{genaue} Anzahl der Darstellungen ergibt. (\textit{Ramanujan} hatte dasselbe gezeigt für \(s=4, 6, 8\); für \(s=9\) ist es nicht mehr der Fall.)