Some problems of diophantine approximation: the series \(\varSigma e(\lambda_n)\) and the distribution of the points \((\lambda_n\alpha)\). (Q1471991)

Die Note enthält einen kurzen Bericht über die von den Verf. gewonnenen Resultate, welche ursprünglich in einer dritten Abhandlung der ebenso betitelten Serie in den Acta Mathematica ausführlich dargelegt werden sollten (vgl. Acta Math. 37), und über ihr Verhältnis zu dem Inhalt der Arbeit von \textit{Weyl} (Gleichverteilung von Zahlen mod. 1, Math. Ann. 77, 1916). Es handelt sich vor allem um den Satz, daß \[ s_n=\sum_{h=1}^n e(\lambda_h)=o(n) \] ist, wenn \(\lambda_n\) ein Polynom in \(n\) ist, dessen höchster Koeffizient irrational ist und \(e(x)\) zur Abkürzung für \(e^{2\pi ix}\) geschrieben wird. Eine Aussage über die Gleichmäßigkeit der Abschätzung in bezug auf die Koeffizienten des Polynoms wird hinzugefügt. Ist \(\lambda_h\) irgendeine wachsende Zahlenfolge, so kann unter sehr allgemeinen Bedingungen behauptet werden, daß \[ \sum_{h=1}^n e(\alpha \lambda_h)=o(n) \] ist für alle \(\alpha\), die nicht einer gewissen Ausnahmemenge vom Maße 0 angehören. Dem darauf bezüglichen Theorem von \textit{Weyl} werden hier zwei weitere analoge hinzugefügt.