Graphok és alkalmazásuk a determinánsok és a halmazok elméletére. (Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und Mengenlehre.). (Q1471995)

Ein Graph wird ein paarer Graph genannt, falls jeder geschlossene Linienzug, der aus seinen Kanten gebildet werden kann, eine gerade Anzahl von Kanten enthält. Es wird der Satz bewiesen: Laufen in jedem Punkte eines paaren Graphes höchstens \(k\) Kanten zusammen, so kann man den Kanten des Graphes je einen von \(k\) Indizes auf solche Weise zuordnen, daß\ zwei Kanten, die in einem Punkt zusammenlaufen, stets verschiedene Indizes erhalten. Der Satz wird angewendet im Fall, daß\ in jeder Ecke genau \(k\) Kanten zusammenlaufen (reguläre Graphen). Wäre dieser Satz auch für unendliche Graphen (\(k\) endlich), so würde sich hieraus folgende Verschärfung eines \textit{Bernstein}schen Satzes aus der Mengenlehre ergeben: Stehen zwei Mengen in einer umkehrbaren \((1, k)\)-Relation zueinander, so gibt es zwischen ihnen auch eine umkehrbar eindeutige Relation, die so beschaffen ist, daß\ sie nur solche Elemente einander zuordnet, die auch durch die gegebene \((1, k)\)-Relation einander zugeordnet sind. Dieser Satz wird bewiesen, falls \(k\) eine Potenz von 2 ist und es wird gezeigt, daß\ es genügen würde, diesen Satz für den Fall zu beweisen, daß\ a) die Mengen abzählbar sind und b) \(k\) eine Primzahl ist. -- Über die Anwendung auf Determinanten s. das Referat über die fast identische Arbeit in Math. Ann. 77 (F. d. M. d. Bd. S. 146).