Sur le fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance régulière. (Q1472016)

Der \textit{erste} Teil der inhaltreichen Arbeit ist den \textit{ganzen Funktionen der Ordnung Null} gewidmet. I. Aus einer von \textit{Hadamard} benutzten Methode holt Verf. heraus, daß\ zwischen \(M(r)=\underset{| z|=r}{\text{Max}}| f(z)| \) und \(m(r)=\underset{n=1, 2, \dots}{\text{Max}} | c_n| r^n\) bei Funktionen der Ordnung \(\varrho < \infty\) die Beziehung besteht \[ \log M(r)=\log m(r)+k \log r \quad (0<k<\varrho+\varepsilon); \] speziell ist also \[ (^\ast)\quad \frac{\log M(r)}{\log m(r)} \to 1. \] Ferner besteht zwischen \(M(r)\) und der Nullstellenzahl \(n(r)\) im Kreise \(| z| \leqq r\) die Relation \[ \log M(r)=\int_0^r \frac{n(x)}{x} dx + h(r) r^{\varrho(r)} \quad (0<h(r)<\text{Konstante}), \] wobei \(\varrho(\alpha)\) ein gewisser ``exposant de la suite des zeros'' ist. Die Verwendung derartiger Exponenten ist für das Folgende wesentlich. II. betrachtet das Verhalten von \(| f(z)| \) in gewissen Gebieten und bringt zum Schluß\ ein Beispiel wobei \[ \frac{| n\text{-te Nullstelle von }f(z)| }{| n\text{-te Nullstelle von }f(z)+a| }\text{ nicht }\to 1 \quad (a \neq 0). \] III. Gestützt auf \((^\ast)\), wird hier nach Funktionen gesucht, für welche die Beziehung zwischen log \(M(r)\) und dem Index \(N(r)\) des größten Gliedbetrages \(m(r)\) von einfacher Bauart ist, speziell von der Gestalt \[ \log M(r) \sim \varphi(N(r), r). \] Die erhaltenen Funktionen heißen ``à correspondance régulière'' und werden in Klassen und Kategorien eingeteilt. IV studiert näher die Funktionen ``à correspondance d'ordre zéro parfaitement régulière''. V betrifft Funktionen ``à correspondance régulière d'ordre 0 et d'ordre \(-1\)''. VI endlich bringt Beispiele von Funktionen der Ordnung Null, die sich als Lösungen einer Funktionalgleichung wie \[ f(az)=P_0(z) f(z)+P_1(z)\quad (P_i=\text{Polynom}, \quad | a| >1) \] ``in natürlicher Weise in die Analysis einführen''. Der \textit{zweite Teil} behandelt \textit{verschiedene Fragen über ganze Funktionen endlicher Ordnung}. Das Band, das diese Betrachtungen zusammenhält, ist die von den Funktionen der Ordnung Null übernommene einheitliche Methode. Das wichtigste Resultat ist wohl die in I enthaltene Verschärfung eines \textit{Wiman}schen Satzes: Bei jeder ganzen Funktion der Ordnung \(\varrho<\frac 12\) ist auf beliebig großen Kreisen \[ \log | f(z)| >(1-\varepsilon) \cos \pi \varrho \log M(r). \] III betrifft ``orientierte'' Funktionen nicht ganzer Ordnung, d. h. solche, deren Nullstellenargumente einen Grenzwert besitzen. IV enthält einen Beweis der \textit{v. Mangoldt}schen Formel für die Nullstellenanzahl bei \(\zeta(s)\). V betrachtet Wege, die nach \(\infty\) gehen und längs deren \(f(z)\) einen endlichen oder unendlichen Grenzwert hat, und beleuchtet die hier auftretenden Schwierigkeiten.