Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen. (Q1472017)

Die im Jahre 1886 von \textit{Poincaré} begründete Theorie der divergenten asymptotischen Reihen ist seitdem vielfach verwendet, aber außer durch \textit{Watson} (F. d. M. 42, 273 (JFM 42.0273.*), 1911; 43, 345, 1912) als allgemeine Theorie bisher nicht gefördert worden. Der Verf. stellt sich hier die Aufgabe unter Verallgemeinerung und Vertiefung der von \textit{Watson} gewonnenen Ergebnisse eine solche allgemeine Theorie zu entwickeln. Daß\ eine in einem Winkelraum \(-\frac{\pi}{2\alpha} < \varphi < \frac{\pi}{2\alpha}\), \(r>R\) (\(z=re^{i \varphi}\)) reguläre analytische Funktion \(f(z)\) durch die Reihe \(\sum_0^\infty \frac{a_\nu}{z^\nu}\) asymptotisch dargestellt werde -- in Zeichen \(f(z) \sim \sum_0^\infty \frac{a_\nu}{z^\nu}\) -- bedeutet nach der \textit{Poincaré}schen Definition, daß\ für jedes \(n\) \[ \left| z^n \left( f(z)-\sum_0^{n-1} \frac{a_\nu}{z^\nu} \right) \right| < M_n \] ist, wo die \(M_n\) positive nur von \(n\) abhängige Zahlen sind. Namentlich interessiert der Fall divergenter Reihen, wo also \(\frac{M_n}{\varrho^n} \to \infty\) ist, für noch so große \(\varrho\) und \(n \to \infty\). Denn im Falle konvergenter Reihen ist der unendlichferne Punkt regulärer Punkt der Funktion. Der erste Abschnitt der Arbeit enthält vorbereitende Sätze: Der Verf. aus einem bekannten \textit{Phragmén- Lindelöf}schen Satze, wonach eine in einem Winkelraum der Öffnung \(\frac{\pi}{\alpha}\) reguläre am Rande beschränkte Funktion \(f(z)\), welche im Inneren schwächer als \(e^{rk}\) \((k<\alpha)\) wächst, im ganzen Inneren beschränkt ist, einen analogen Satz über Funktionen, welche in einem solchen Winkelraum stärker als \(Ce^{-\sigma r^\alpha}\) \((C>0, \sigma>0)\) abnehmen. Diese sind identisch Null. Dieser Satz stellt eine Verschärfung eines \textit{Watson}schen Satzes dar. Sodann entwickelt \textit{Nevalinna} die Anfangsgründe der \textit{Poincaré}schen Theorie. Namentlich zeigt er, daß\ die asymptotische Darstellung durch die darzustellende Funktion eindeutig bestimmt ist. Er erweitert den Kreis der bisher bekannten Ergebnisse durch den Zusatz, daß\ asymptotische Reihen gliedweise differentiiert werden können, um die asymptotische Darstellung der Ableitung zu erhalten. Dies gilt nur in Winkelräumen, nicht etwa für asymptotische Darstellungen längs geraden Linien. Ausgehend von der Bemerkung, daß\ ein und dieselbe asymptotische Reihe viele Funktionen asymptotisch darstellt, sucht der Verf. eine Funktionenklasse, in der die Funktionen durch ihre asymptotischen Entwicklungen eindeutig bestimmt sind. Dies ist dann der Fall, wenn \[ \left| z^n \left( f(z)-\sum_0^{n-1} \frac{a_\nu}{z^\nu} \right) \right| < \left( \frac nk \right)^{\frac nk} \cdot e^{- \frac nk} \cdot \varrho^n \quad (k \geqq \alpha) \] für hinreichend große \(n\) und passendes \(\varrho>0\) gilt. Der Verf. beweist dies einfacher als \textit{Watson}, und sein Beweis umfaßt auch den bei \textit{Watson} ausgeschlossenen Fall \(k=\alpha\). Dieser Funktionenklasse ist nun die ganze weitere Arbeit gewidmet. Man hat die Bedingung auch in der Form \[ \left| z^n \left( f(z)-\sum_0^{n-1} \frac{a_\nu}{z^\nu} \right) \right| < \varGamma \left( \frac nk +1 \right) \varrho^n \] schreiben. In verschiedenen Winkelumgebungen des unendlichfernen Punktes kann aber nun immer noch dieselbe Reihe verschiedene Funktionen asymptotisch darstellen. Gilt aber eine solche asymptotische Darstellung einer Funktion in einem Winkelraum, dessen Öffnung größer oder gleich \(\frac \pi k+2\pi\) ist, so ist die Funktion in der vollen Umgebung des unendlichfernen Punktes eindeutig. Für kleinere, wenn auch mehrblättrige Winkelräume gilt dieser Eindeutigkeitsschluß\ nicht. Als Abschluß\ des vorbereitenden Abschnitts folgt noch eine Theorie des \textit{Laplace-Abel}schen Integrals \[ \int_0^\infty F(z) e^{xs} dz. \] Im zweiten Abschnitt wird gezeigt, daß\ jede der Klasse angehörige Funktion durch ein \textit{Laplace-Abel}sches Integral dargestellt werden kann. Die Ergebnisse des Verf. gipfeln in dem folgenden Satze: Sei \(f(z)\) eine analytische Funktion, welche für \(\Re(z^k)>\gamma^k, \gamma>0, k>0\) regulär ist und daselbst durch die Reihe \(\sum_1^\infty \frac{a_\nu}{z^\nu}\) derart asymptotisch dargestellt wird, daß\ für jedes noch so kleine positive \(\varepsilon\) und jedes \(\varrho'>\varrho\) in dem Gebiet \(\Re(z^k) \geqq \gamma^k+\varepsilon\) die Ungleichung \[ \left| z^n \left( f(z)-\sum_0^{n-1} \frac{a_\nu}{z^\nu} \right) \right| < \varGamma \left( \frac nk+1 \right) \varrho'{}^n \] für genügend große Werte von \(n\) besteht. Dann definiert das Integral \[ F(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{l^k-i^\infty}^{l^k+i^\infty} \frac{f^{\left( u^{\frac 1k} \right)}}{u} e^{zu}du, \] wo \(l>\gamma\), für reelle positive \(z\) eine Funktion \(F(z)\), welche in dem Kreise \(| z| <\frac{1}{\varrho^k}\) durch die konvergente Potenzreihe \[ F(z)=\sum_1^\infty \frac{a_\nu}{\varGamma \left( \frac \nu k +1 \right)} z^{\frac \nu k} \] dargestellt wird. Ferner läßt sich der dem Argumentwert arg \(z^{1/k}=0\) entsprechende Zweig dieser Funktion längs der positiven reellen Achse derart analytisch fortsetzen, daß\ die erweiterte Funktion sich in dem von den Kreisen \(| z-z_0| <\varrho^{-k}, \varrho^{-k} \leqq z_0 <\infty\) überdeckten Gebiet \(G(\varrho)\) regulär verhält und daß\ ferner für jedes \(\varrho'<\varrho\) und jedes positive \(\varepsilon\) in dem schließlich des Randes die Ungleichung \[ | F(z)| <C(\varrho', \varepsilon)e^{(\gamma^k+\varepsilon)\Re(z)} \] besteht, wo \(C(\varrho', \varepsilon)\) eine nur von \(\varrho'\) und \(\varepsilon\) abhängige positive Konstante ist. Mittelst dieser Funktion läßt sich \(f(z)\) in dem Gebiet \(\Re(z^k)>\gamma^k\) durch das \textit{Laplace}sche Integral \[ f(z)=z^k \int_0^\infty F(t) e^{-z^kt}dt. \] darstellen. Die Betrachtung eines Beispiels, insbesondere des Integrallogarithmus beschließt diesen Abschnitt. Der folgende Abschnitt ist insbesondere dem Spezialfall \(k = 1\) gewidmet. Insbesondere wird für diesen Fall der eben aufgestellte Satz umgekehrt. Das gelingt durch ein einfaches Verfahren der partiellen Integration. Weiter zeigt der Verf. immer im Falle \(k=1\), daß\ in der Halbebene \(\Re(z)>\gamma\) die Funktion \(f(z)\) durch die absolut konvergente Fakultätenreihe \[ f(z)=\sum_1^\infty \frac{c_\nu(\omega)\nu !}{\left( \frac z \omega+1\right) \left( \frac z \omega+2 \right) \cdots \left( \frac z \omega +\nu \right)} \] dargestellt wird, wo \(\omega>\frac{\pi \varrho}{2}\) ist. Auch hier handelt es sich um eine vereinfachte Begründung eines \textit{Watson}schen Ergebnisses. Die allgemeine \textit{Nörlund}sche Theorie der Fakultätenreihen F. d. M. 45, 394 (JFM 45.0394.*), 1914) wird dabei nicht benutzt.