Sur les transformations et extensions de la formule de \textit{Stokes}. Second mémoire. (Q1472031)

Die beiden Abhandlungen sind Glieder einer, Reihe von Publikationen, der auch zwei frühere, anders betitelte Arbeiten (Toulouse Ann. (3) 2, 33, 1910 und (3) 3, 63, 1911; F. d. M. 43, 369 (JFM 43.0369.*), 1912 bzw. 44, 498, 1913, 45, 1292, 1914-15) inhaltlich zugehören. In besagter Reihe will Verf. die \textit{Stokes}sche Formel, deren Wichtigkeit für die mathematische Physik unumstritten ist, innerhalb der reinen Mathematik zu entsprechender Geltung bringen (die sie bisher nicht besaß) und sie zugleich ausdehnen und verallgemeinern. Als förderlich und eigentümlich für seine Entwicklungen betrachtet Verf. dabei die folgende \textit{symbolische} Gestalt der \textit{Stokes}schen Formel \[ \iint_\varSigma \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \\ P & Q & R \end{vmatrix} d \varSigma = \int_\varGamma (Pdx+Qdy+Rdz), \] wobei \(\varSigma\) ein einfaches Flächenstück, \(\varGamma\) seinen Rand, \(\alpha, \beta, \gamma\) die Richtungskosinus der Normalen von \(d \varSigma\) bedeutet. Abh. I (a. a. O. (3) 4, 365, 1912) ist F. d. M. 45, 1292 (JFM 45.1292.*), 1914-15 besprochen; Abh. III, IV (a. a. 0. (3) 6, 85 bzw. 301, 1916) vgl. man F. d. M. 46, 369 (JFM 46.0369.*), 1917-18 (die daselbst über die ``erste und zweite Arbeit'', gemachten Angaben beziehen sich auf die beiden oben erwähnten Vorgänger der Reihe). Abh. II beginnt mit einem neuen Beweis der bereits in Abh. I abgeleiteten Formel \[ (D) \quad \iint_\varSigma \begin{vmatrix} s & t & 0 & 0 & -1 \\ \\ r & s & 0 & -1 & 0 \\ \\ p & q & -1 & 0 & 0 \\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial p} & \frac{\partial}{\partial q} \\ \\ P & Q & R & S & T \end{vmatrix} dxdy=\int_\varGamma (Pdx+Qdy+Rdz+Sdp+Tdq), \] worin \(z=f(x, y), p, q, r, s, t\) die üblichen partiellen Ableitungen sind, und die Invarianz des Doppelintegrals für alle \(\varSigma\) in Evidenz tritt, die den Rand \(\varGamma\) gemein haben und einander dort berühren. Mit Hilfe von \((D)\) ergibt sich (erster eine Integral-Gestalt der \textit{Monge-Ampère}schen Differentialgleichung und (zweiter Teil) je ein Ausdruck für das Linienintegral der geodätischen Krümmung (\textit{Bonnet}sche Formel), der geodätischen Torsion und der Normalkrümmung. Zum Schluß\ Verallgemeinerungen (dritter Teil). Abh. V war dem Verf. leider nicht zugänglich.