Contribution à la théorie élémentaire des équations intégrales. (Q1472035)

Den für symmetrischen Kern durch \textit{E. Schmidt} bekannten Gedankengang verallgemeinernd hat \textit{I. Schur} (Math. Ann. 66, 488, 1909; vgl. S. 501 ff.) auch für nicht symmetrischen (beispielsweise stetigen) Kern \(H(x, y)\) die Ordnung \(n_\nu\) eines Eigenwertes \(\varLambda_\nu\) \textit{ohne Benutzung von Fredholms ganzer Funktion} \(D(\lambda)\) erklärt und dabei die Konvergenz der Reihe \(\sum_\nu \frac{n_\nu}{|\varLambda_\nu|^2}\) erstmalig bewiesen. Verf. will dasselbe auf anderem Wege leisten. Zu dem Ende versteht er unter \(\lambda_p\) irgend einen Eigenwert, unter \(\varphi_p(x)\) irgend eine zugehörige Eigenfunktion (Nulllösung) von \(H_{p-1}(x, y)\) \((p=1, 2, \dots; H_0(x, y)=H(x, y)\) gemeint) und setzt darauf \[ H_p(x, y)=H_{p-1}(x, y) - \frac{\varphi_p(x) \overline{\varphi}_p (y)}{\lambda_p}. \] Dann gilt (S. 267): Theorem I. Jedes der so erklärten \(\lambda_p\) ist Eigenwert von \(H(x, y)\). Theorem II. Ein Eigenwert von \(H(x, y)\) kommt entweder unter den (\(n\) ersten) \(\lambda\) vor oder ist Eigenwert von \(H_n(x, y)\). ``Diese beiden Sätze ergeben die Identität der \(\lambda\) mit den Eigenwerten von \(H(x, y)\) und gestatten deren Abzählbarkeit zu behaupten''. Diese entschieden mißverständliche Aussage ist vielleicht folgendermaßen zu verstehen: Wenn beliebig viele Eigenwerte \(\varLambda_\nu\) vorgelegt sind, so kann das obige Verfahren so eingerichtet werden, daß\ sie unter den \(\lambda_p\) vorkommen; dann ist nach Formel \((\gamma'')\) von S. 261 die über sie erstreckte \[ \varSigma \frac{1}{| \varLambda_\nu| ^2} \leqq \iint | H(x, y)| ^2 d(x, y), \] woraus die Abzählbarkeit der Eigenwerte folgt. Schließlich definiert Verf. die Vielfachheit eines Eigenwertes, äußert sich jedoch (im Gegensatz zu \textit{I. Schur}) nicht, ob seine Vielfachheit mit der üblichen übereinstimmt.