Sur certains systèmes d'équations aux différentielles totales et sur une généralisation du problème de \textit{Pfaff}. (Q1472049)

Die Arbeit ist der folgenden Verallgemeinerung des \textit{Pfaff}schen Problems gewidmet. \(dw=\varSigma A_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_p} dx_{\alpha_1} dx_{\alpha_2} \cdots dx_{\alpha_p}\) sei ein Differentialausdruck. Die Summe ist dabei über alle verschiedenen Kombinationen zu \(p\) der \(n\) Differentiale \(dx_1, \cdots, dx_n\) zu erstrecken. Man sucht dann alle diejenigen \(r\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten des \(R_n\) derart, daß\ das Integral \(\int dw\) erstreckt über jede beliebige \(p\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit desselben Null ist. Dies Problem führt auf ein System partieller Differentialgleichungen, mit dessen Integrationstheorie sich der Verfasser beschäftigt. Ein vom Verfasser eingeführter Begriff singulärer Elemente führt auf ein System vollständig integrierbarer totaler Differentialgleichungen, die den Hauptgegenstand der Arbeit bilden. Am einfachsten entwickelt man seine Theorie aus folgendem Variationsproblem, das für \(p=2\) angeführt sei. \[ J(\alpha)=\int \varSigma A_{ik} dx_i dx_k \quad (A_{ik}=- A_{ki}) \] sei ein Integral über eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die von einer geschlossenen Kurve begrenzt ist, welche mit eine, Parameter \(\alpha\) stetig variiert. Für welche Kurven und für welche Mannigfaltigkeiten ist die erste Variation des Doppelintegrales Null\(?\) Diese Frage führt auf die erwähnten totalen Differentialgleichungen, deren Theorie sich aus dem Variationsproblem (aber auch direkt, beides lehrt der Verfasser) leicht entwickeln läßt. Als Anwendung gibt der Verf. eine neue vereinfachte Darstellung seiner Untersuchungen über Integralinvarianten (F. d. M. 39, 190 (JFM 39.0190.*), 1908 und F. d. M. 45, 1235 (JFM 45.1235.*), 1914-15).