Einfache und exakte Ableitung des \textit{Maxwell}schen Geschwindigkeitsverteilungssatzes. (Q1472080)

Man erhält die wahrscheinlichste Verteilung von \(n\) Elementen (Molekülen) in \(k\) Gruppen: \(n=n_1+n_2+\cdots+n_k\), wenn sowohl die Geschwindigkeiten \(v_1, v_2, \dots, v_k\) der Moleküle jeder Gruppe, als auch die Mittelwerte \(v_0\) und \(v_{00}^2\) gegeben sind, indem man den Ausdruck \(N=n_1!n_2!\dots n_k!\) unter den Nebenbedingungen \[ (1)\quad \begin{aligned} n_1+n_2+& \cdots+n_k=n \\ n_1v_1+n_2v_2+ & \cdots +n_kv_k=nv_0 \\ n_1v_1^2 + n_2 v_2^2 + & \cdots +n_kv_k^2=nv_{00}^2 \end{aligned} \] zum Minimum macht. Unter Benutzung der \textit{Stirling}schen Formel gelangt man zum \textit{Maxwell}schen Gesetz \[ (2)\quad n_i=Ae^{-h^2(v_i-c)^2}. \] Der Verf. beanstandet die Verwendbarkeit der Annäherung \(n_i!=n_1^n e^{-n_1}\) da die gefundenen \(n_i\) zum Teil sehr kleine Zahlen sein können; außerdem wird bei der üblichen Ableitung von (2) die natürliche Forderung nach der Ganzzahligkeit der Lösung verwischt. Verf. beweist nun in aller Strenge den folgenden Satz: Ist die \textit{Maxwell}sche Lösung nach (2) eine ganzzahlige Lösung von (1), so macht sie \(N\) zu einem absoluten Minimum; sind die \(n_i\) nicht sämtlich ganze Zahlen, so gibt es in der Umgebung des Punktes \(n\) (im \((k-3)\)-dimensionalen Raum der \(n_i\), der durch (1) aus dem \(k\)-dimensionalen Raum der \(n_i\) herausgehoben wird), ein begrenztes Gebiet, in dem das absolute Minimum von \(N\) liegt; wird unter sonst gleichbleibenden Verhältnissen die Gesamtzahl \(n=\varSigma n_i\) hinreichend groß, so reduzieren sich die Abmessungen dieses Gebietes auf einen beliebig kleinen vorgegebenen Bruchteil von \(n\). Der Grundgedanke des Beweises soll für den ersten Teil des Satzes skizziert werden: Es ist \(\frac{(a+x)!}{a!a^x} \geqq 1\) für alle positiven ganzen Zahlen \(a\) und \(x\). Angenommen die Werte (2) für \(n_i\) seien ganzzahlig und es sei \(n_1+x_1, \dots, n_k+x_k\) eine andere ganzzahlige Lösung des Minimumproblems. Dann ist \(\varSigma x_i=0\), \(\varSigma v_i x_i=0\), \(\varSigma v_1^2x_i=0\), woraus sich nach obiger Bemerkung und unter Berücksichtigung von (2) ergibt: \[ \frac{(n_1+x_1)! \cdots (n_k+x_k)!}{n_1! \cdots n_k!} > n_1^{x_1} \cdots n_k^{v_k}=1 \] was zu beweisen war.