Invarianti proiettivo-differenziali delle curve tracciate su una superficie e definizione proiettivo-differenziale di una superficie. (Q1472134)

Hat eine Fläche zweiter Ordnung in einem ihrer Punkte \(O\) eine Berührung zweiter Ordnung mit einer beliebigen Fläche \(P\), so hat die Durchschnittlinie beider in \(O\) einen dreifachen Punkt; die entsprechenden Tangenten bilden eine Involution dritten Grades und zweiter Stufe, welche drei dreifache Elemente besitzt. Dieselben sind die Berührungslinien eines neuen Liniensystems auf \(F\), welches \textit{Darboux} zuerst betrachtet und studiert hat (vgl. F. d. M. 12, 591 (JFM 12.0591.*), 1880) und \textit{Segre} nachher noch einmal gefunden hat (vgl. F. d. M. 39, 677 (JFM 39.0677.*), 1908); daher die Benennung ``\textit{Darboux-Segre}sche Linien'', welche vom Verf. vorgeschlagen und beständig angewandt wird. Keiner der genannten Geometer hat die allgemeinste Gleichung dieser Linien aufgestellt, was doch in verschiedenen Fällen notwendig ist, insbesondere um die folgende Fundamentalfrage zu beantworten: Ist eine Punkttransformation zwischen zwei Flächen notwendig eine Projektivität, wenn die \textit{Darboux-Segre}schen Linien der einen den \textit{Darboux-Segre}schen Linien der anderen entsprechen? Nach dem Verf. ist diese Bedingung notwendig, aber nicht hinreichend und wird von ihm in verschiedener Weise vervollständigt. Um dieses Ziel zu erreichen, wendet er die \textit{Christoffel}schen Symbole an, wie es \textit{Bianchi} in seinen Lezioni di geometria differenziale gelehrt hat, und durch geschickte Ansätze gelangt er zu der Gleichung der obengenannten Linien; auf diese Weise erhält er mehrere bemerkenswerte Resultate (zum Teil durch Verwendung einiger Untersuchungen von \textit{Wilczynski}) und löst zuletzt, wenigstens in großen Zügen, mehrere Probleme, welche die Bestimmung einer Fläche mittelst verschiedener Angaben-Systeme betreffen.