Über Möglichkeiten im Relativkalkül. (Q1472446)

Eine Gleichung zwischen (nicht notwendig binären) Relativkoeffizienten, in der nur solche \(\Sigma\) und \(\Pi\) vorkommen, die über den Denkbereich erster Ordnung erstreckt sind (also keine \(\Sigma\) oder \(\Pi\), erstreckt über Relativ), wird eine Zählgleichung genannt. Eine solche läßt sich nicht immer kondensieren, d. h. in eine Gleichung zwischen den vorkommenden Relativen, ohne ein \(\Sigma\) oder \(\Pi\) verwandeln. Jede nicht identisch erfüllte Zählgleichung ist bereits in einem abzählbaren Denkbereich nich mehr für beliebige Werte der Relativkoeffizienten erfüllt. Da nun alle Fragen über Abhängigkeit odeer Unabhängigkeit der Axiome des Gebietekalküls, wie sie von \textit{Schröder, Müller, Huntington} u. a. aufgestellt sind, sich auf Zählgleichung zurückführen lassen, so sind solche Fragen schon in einem abzählbaren Denkbereich entscheidbar, d. h. jene ``pathologischen'' Bereiche, welche \textit{Huntington} u. a. zum Unabhängigkeitsbeweis gewisser Axiomgruppen konstruiert haben, können auf weniger Elemente reduziert werden, wenn ihre Mächtigkeit \(\aleph_0\) übersteigt. Ferner folgt aus dem angeführten Satz über Zählgleichung, daß ein \(\Sigma\) oder \(\Pi\), erstreckt über Relativ, sich nicht immer auswerten läßt, ja nicht einmal sich auf ein \(\Sigma\) oder \(\Pi\) über die Elemente des Denkbereichs erster Ordnung zurückführen läßt. Wohl aber ist eine solche Auswertung stets möglich, wenn in der Gleichung nur uninäre Relativkoeffizienten und außerdem noch vielleicht die Koeffizienten von \(1'\) und \(0'\) vorkommen. Am Schluß wird bewiesen, daß jede Relativgleichung einer Gleichung zwischen binären Relativkoeffizienten äqiuvalent ist, so daß sich der höhere Relativkalkül auf den binären zurückführen läßt. (siehe auch JFM 44.0078.01)