Die Spaltung des Kontinuums in \(\kappa_1\) überall dichte Mengen. (Q1472496)

In dieser Arbeit wird das Problem der Spaltung des Kontinuums (der Strecke \(0-1\)) in \(\kappa_1\) Mengen erledigt, und zwar unter der Voraussetzung der Existenz einer wohlgeordneten Menge von der Mächtigkeit \(\kappa_1\). Im \S\,1 wird zuerst gezeigt, daß zu jeder Ordnungszahl \(\varepsilon\) der ersten oder der zweiten Zahlklasse eine abzählbare und abgeschlossene Menge \(M_{\varepsilon}\) gehört, welche die Eigenschaft besitzt, daß ihre \(\varepsilon\)-te Ableitung endlich viele Punkte hat (also ihre (\(\varepsilon+1\))-te Ableitung verschwindet). Die Gesamtheit aller abzählbaren und abgeschlossenen Mengen, deren \(\varepsilon\)-te Ableitung endlich viele Punkte hat, bezeichnen wir mit \(G_{\varepsilon}\). Diese Gesamtheit in eine wohldefinierte Menge, da man bei jedeer abgeschlossenen Menge \(P\) entscheiden kann, ob sie der Gesamtheit \(G_{\varepsilon}\) angehört oder nicht, d. i. ob ihre \(\varepsilon\)-te Ableitung endlich viele Punkte enthält oder verschwindet oder aber unendlich viele Punkte besitzt. Im \S\,2 wird eine eineindeutige Zuordnung konstruiert, die jeder abgeschlossenen Menge eine Zahl eineindeutig zuordnet. Dadurch wird jeder Menge \(G_{\varepsilon}\) eine Menge von Zahlen \(R_{\varepsilon}\) innerhalb der Strecke \(0-1\) eindeutig zugewiesen. Im \S 3 wird gezeigt, daß man zu jeder Teilmenge \(P\) des Kontinuums von irgendeiner Mächtigkeit \(w\), wo \(m\leqq c\) ist, eine Spaltung des Kontinuums in \(m\) überall dichte Menge, die in jedem noch so kleinen Intervall von der Mächtigkeit des Kontinuums sind, konstruierten kann. Schließlich werden im Anhang zwei mengentheoretische Sätze bewiesen, von denen der erste bereits von \textit{Baire} bewiesen wurde, und ein neuer Beweis des \textit{Cantor-Bedix}schen Satzes gegeben.