Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. (Q1472504)

Nach \textit{Borel} und \textit{Lebesgue} soll jeder beschränkten Menge \(A\) des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(E_n\) als Inhalt eine nichtnegative Zahl \(f(A)\) unter den Bedingungen zugeordnet werden: (\(\alpha\)) Der Einheitswürfel hat den Inhalt 1. (\(\beta\)) Kongruente Mengen haben denselbe Inhalt. (\(\gamma\)) Es ist \(f(A+B)=f(A)+f(B)\). (\(\delta\)) Es ist \(f(A+B+C+\dots)=f(A)+f(B)+f(C)+\dots\) für eine beschränkte Summe von abzählbar vielen Summanden. Die von \textit{Lebesgue} gegebene konstruktive Inhaltsdefinition erfüllt zwar diese Bedingungen, aber sie ordnet Inhalte nicht allen (beschränkten) Mengen zu, sondern nur den meßbaren. Die Frage bleibt offen, ob das durch die Forderungen (\(\alpha\)) bis (\(\delta\)) gestellte Inhalsproblem in der Ausdehnung auf alle beschränkten Mengen überhaupt lösbar ist oder nicht. Der Verf. zeigt, daß unter diesen Forderungen eine Inhaltsbestimmung keinesfalls möglich ist. Selbst wenn die Forderung (\(\delta\)) fallen gelassen wird, auf deren Nichterfüllbarkeit der erste Beweis beruht, wird weiter bewiesen, daß selbst unter Einschränkung auf die Bedingungen (\(\alpha\)), (\(\beta\)), (\(\gamma\)) das Problem unlösbar ist. ``Das Inhaltsproblem selbst ohne die \textit{Lebesgue}sche Forderung (\(\delta\)) ist für die Kugel und für den drei- oder mehrdimensionalen Raum nicht lösbar. Für den Kreis, die gerade Linie und die Ebene muß die Frage nach einer den Bedingungen (\(\alpha\)), (\(\beta\)), (\(\gamma\)) genügenden Inhaltsbestimmung offen bleiben.''