Lehrbuch der Algebra. Erster Teil: Grundlagen der Arithmetik. (Q1472608)

Um zunächst einen Überblick über den Inhalt des vorliegenden Bandes zu geben, seien die Überschriften der 5 Kapitel des Buches mitgeteilt: Die rationalen Zahlen. Die Gesamtheit der reellen. Abstrakte Theorie der reellen Zahlen. Potenz und Logarithmus. Grenze und unendliche Reihe. Der Ausgangspunkt für den Zahlbegriff ist die vollständige Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen, die im Anschluß an \textit{Peano} durch Postulate festgelegt wird. Hier wie auch später wird die Unabhängigkeit und Widerspruchslosikeit des Axiomsystems gezeigt. Nach Aufstellung des Satzes von der vollständigen Induktion wird für die ganzen Zahlen die Addition erklärt, und ihre Rechnungsregeln werden abgeleitet. Sodann folgt die Multiplikation der positiven ganzen Zahlen. Nun \((\S\,5-7)\) folgen allgemeine Untersuchungen: der Begriff der Äquivalenz zweiter Elemente eines Systems wird als eine besondere Art von Relation postulatorisch definiert, nämlich als determinierte, reflexive, symmetrische und transitive Relation. Dann wird postulatorisch die Ordnungs fähigkeit eines Systems definiert, dessen Elemente eine Äquivalenzvorschrift erfüllen. Nach Festlegung des Gruppenbegriffes und des Körperbegriffes werden nun die rationalen Zahlen unter Verwendung dieser allgemeinen Untersuchungen eingeführt. Aus den Untersuchungen über den Körperbegriff erwähne ich noch die interessante Tatsache, daß unter den 10 Körperpostulaten sich das kommutative Gesetz der Addition nicht findet, vielmehr folgt es aus den übrigen Postulaten. -- Die Umkehroperationen, Subtraktion und Division, ergeben sich ohne weiteres aus der direkten Operationen unter Verwendung der durch die Gruppeneigenschaften gesicherten inversen Elemente. -- Im zweiten Kapitel wird der Bereich der rationalen Zahlen zu der reellen Zahlen erweitert. Dabei wird die reelle Zahl \(\alpha\) eingeführt als Inbegriff zweiter zusammengehörigen Definitionsfolgen: \(\alpha=\left(\begin{matrix} & a_1,& a_2,& a_3, \dots \\ &a'_1,&a'_2, &a'_3, \dots \end{matrix}\right)\), wobei die \(a_n\) eine monoton steigende, die \(a_n^\prime\) eine monoton fallende Folge bilden, \(a_n^\prime\geqq a_n\) ist und die positive Größe \(a_n^\prime-a_n\) mit wachsenden \(n\) zu 0 abnimmt. Mit Hülfe dieser Definition werden alle Eigenschaften der reellen Zahlen entwickelt. Dabei ergibt sich, wie bei den rationalen Zahlen, daß die Multiplikation negativer reeller Zahlen und das Produkt \(\alpha\cdot 0\) in der üblichen Weise definiert werden muß, damit die reellen Zahlen einen Körper bilden. Vom so gewonnenen Standpunkt der reellen Zahlen aus werden die Theorie der Dezimalbrüche und die der systematischen Brüche begründet und die grundlegenden Eigenschaften der Kettenbrüche entwickelt. Mit deren Hilfe wird dann die lineare diophantische Gleichung behandelt und recht ausführlich der Zusammenhang der quadratischen Gleichung mit den periodischen Kettenbrüchen entwickelt. Schließlich werden einige elementar- mengentheoretische Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen (Dichte, Nichtabzählbarkeit) klargelegt, und es wird gezeigt, daß der Körper der reellen Zahlen in dem Sinne vollständig ist, daß Definitionsfolgen, deren Elemente beliebige reelle Zahlen sind, zu keinen neuen Zahlen Veranlassung geben. Das dritte Kapitel bringt eine abstrakte Theorie der reellen Zahlen, d. h. eine Festlegung aller derjenigen abstrakten Postulate, die auf einen Körper führen, der zu dem der reellen Zahlen isomorph ist. Zunächst wird die Lösung nur für den Körper der rationalen Zahlen gegeben. Dazu ist es wichtig, die sogenannten kommutativen Wurzelgruppen zu studieren; das sind, kurz gesagt, solche Gruppen, innerhalb deren Wurzelausziehung stets möglich ist, aber nur in eindeutiger Weise. Nimmt man zu den Postulaten, die einen beliebigen abstrakten Körper definieren, noch ein weiteres hinzu, so läßt sich der kleinste Körper, der alle diese Postulate erfüllt, auf eine einzige Weise dem Körper der rationalen Zahlen isomorph zuordnen, ist also im abstrakten Sinne mit ihm identisch. Das erwähnte Zusatzpostulat besagt: kein Vielfaches der multiplikativen Einheit ist gleich dem additiven Hauptelement (der Null). Aus diesem Postulat ergibt sich, daß der Körper bezüglich der Addition eine Wurzelgruppe ist. -- Die Aufstellung aller der Postulate, die im abstrakten Sinne den Körper der reellen Zahlen definieren, wird dann unternommen. Ich bemerke, daß es sich ganz wesentlich noch um Hinzunahme von Ungleichheitspostulaten handelt, unter denen die \textit{Archimedi}sche vorkommt, und um ein sogenanntes Vollständigkeitsaxiom. Kapitel 4 bringt unter Benutzung der Ergebnisse des dritten Kapitels die Potenz und den Logarithmus. Die Potenzgesetze folgen einfach aus den Sätzen über iterierte Gruppenelemente kommutativer Gruppen. Der Begriff der \textit{positiv} genommenen Wurzel aus einer positiv reellen Zahl wird durch Konstruktion zusammengehöriger Definitionsfolgen gewonnen. U. a. wird hier das \textit{Newton}sche Verfahren der Wurzelausziehung mitgeteilt. Die Ausdehnung des Potenzbegriffes auf den Fall mit beliebigem rationalen Exponenten ergibt sich ohne weiteres aus dem vorheigen Kapitel auf Grund der Tatsache, daß die reellen positiven Zahlen bei multiplikativer Verknüpfung eine Wurzelgruppe bilden und für diese bereits die entsprechende Begriffsbildung abgeleitet war. Sodann wird die Potenz auch für irrationale Exponenten eingeführt. Dazu ist folgender Hülfssatz nötig: Es sei \(\alpha={a_n\choose a_n^\prime}\geqq 1\), und dabei auch \(a_n, a_n\geqq 1\); ferner sei \(\xi={x_n\choose x_n^\prime}\) eine positive reelle Zahl und \(x_n, x_n^\prime\) positiv rational. Dann definiert \({a_{n}^{x_n}\choose a_n^{\prime x_n^\prime}}\) ebenfalls eine Zahl. -- Um schließ\ lich den Logarithmus zu definieren, wird gezeigt: die Gleichung \(\alpha^{\xi}=G\), in der \(\alpha, G > 0, \alpha\neq 1\) ist, hat stets eine einzige reelle Lösung. Sie wird durch Aufstellung der Definitionsfolgen gewonnen. Hieraus werden die Definition des Logarithmus und seine Eigenschaften entwickelt und elementare Algorithmen zu seiner Berechnung abgeleitet. Es folgt eine elementare Einführung der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus durch Aufstellung einfacher zusammengehöriger Definitionsfolgen. Den Schluß des Kapitels bildet ein Exkurs über das arithmetisch-geometrische Mittel und verwandte Algorithmen nebst einer Anwendung auf die Kreisberechnung. Das letzte Kapitel bringt Gegenstände der algebraischen Analysis. Als Ausgangspunkt wird der Begriff der oberen und unteren Grenze einer Zahlenmenge entwickelt. Hieraus wird der \textit{Dedekind}sche Schnitt abgeleitet und das Verhältnis der \textit{Dedekind}schen Theorie der reellen Zahlen zu der hier vorgetragenen Theorie erläutert. Sodann werden die Begriffe Häufungsstelle, limes sup, limes inf, lim auseinandergesetzt; es wird die Konvergenz von Folgen, besonders die von monotonen, besprochen und klassische Beispiele angewendet. Nach Entwicklung der Sätze einer Summe usw. wird noch kurz auf die Theorie der Irrationalzahlen nach \textit{Cantor} und nach \textit{Weierstraß} hingewiesen. -- Die entwickelten Begriffe werden dann angewendet, um Differentiation und Stetigkeit für die Funktionen \(x^n, \log x,a^x\) darzutun und neue Grenzprozesse für den natürlichen Logarithmus und die Exponentialfunktion zu geben. -- In der Theorie der unendlichen Reihen werden die einfachsten Konvergenzkriterien besprochen und in ihrer Wirksamkeit verglichen. -- Für Potenzreihen wird der \textit{Cauchy}sche Konvergenzsatz abgeleitet; als Anwendung folgen dann Exponentialreihe, binomische und hypergeometrische Reihe. Ein besonderer Abschnitt ist der absoluten relativen Konvergenz gewidmet. -- Von der Kombinatorik her wird der binomische und polynomische Satz für positive ganze Exponenten bewiesen. Als Anwendung des binomischen Satzes wird die Identität der Exponentialreihe mit der bereits bekannten Funktion \(e^x\) nachgewiesen. Die nähere Untersuchung der binomischen Reihe und ihrer Konvergenz bringt die Ausdehnung des binomischen Satzes auf beliebige Exponenten nebst Anwendung auf die Wurzelausziehung einschließlich der Fehlerabschätzung. Die Untersuchung der logarithmischen Reihe erschließt neue Methoden zur Berechnung der Logarithmen und gibt Gelegenheit, die Einrichtung der Logarithmentafeln zu besprechen. Es folgt schließlich noch ein Abschnitt über unendliche Produkte und eine Reihe von ergänzenden Nachträgen. Das Werk ist inhaltlich äußerst wertvoll. Leider wird der Genuß an der Lektüre stellenweise abgeschwächt durch stilistiche Schwerfälligkeiten (z. B. S. 20 letzter Absatz) und durch eine nicht genügende Flüssigkeit in der Art der Beweisführung; ein Mangel, der durch die Absicht hervorgerufen wird, die Beweise und Voraussetzungen in restloser Strenge zu übermitteln. Das sind aber geringe Ausstellungen gegenüber den großen Vorzügen des Buches, das sowohl den Studierenden, als auch den Forschern aufs wärmste empfoheln werden kann.