Die allgemeinsten Bereiche aus ganzen transzendenten Zahlen. (Q1472613)

Verf. knüpft an die oben besprochene Arbeit von \textit{Zermelo} an. Faßt man die dort erwähnten Basiszahlen wegen ihrer algebraischen Unabgängigkeit als Unbestimmte auf, so wird dadurch der \textit{Zermelo}sche Bereich zu einem Bereich mit folgenden 5 Eigenschaften: \(\mathfrak G_\eta\) enthält 1. alle Zahlen \(\eta\); 2. alle Polynome der \(\eta\) mit ganzen algebraischen Koeffizienten; 3. alle ganzen algebraischen Funktionen der \(\eta\) mit ganzzahligen Koeffizienten, d. h. solche, die einer Gleichung genügen, deren höchster Koeffizient \(=1\) ist, während die übrigen Polynome der \(\eta\) mit ganzen algebraischen Zahlkoeffizienten sind. \(\mathfrak G_\eta\) schließt aus 4. alle rational-gebrochenen Funktionen der \(\eta\) mit ganzzahligen Koeffizienten; 5. alle algebraisch-gebrochenen Funktionen der \(\eta\) mit ganzzahligen Koeffizienten. -- Verf. weist nun nach, daß es Bereiche \(\mathfrak G\) gibt, die wesentlich verschieden von dem \textit{Zermelo}schen \(\mathfrak G_\eta\) sind, nämlich solche, denen bei keiner Wohlordnung alle Eigenschaften 1.-5. zukommen, und die daher nach der \textit{Zermelo}schen Vorschrift auch nicht hergestellt werden können. Mit andern Worten: nicht alle Eigenschaften 1.-5. sind den Bereichen \(\mathfrak G\) eigentümlich, die durch die Bedingungen 1.-4. der \textit{Zermelo}schen Arbeit charakterisiert sind. Wesentlich für einen Bereich \(\mathfrak G\) sind die oben agegebenen Bedingungen 1. und 2., d. h. jeden Bereich \(\mathfrak G\) kann man mit Hülfe einer geeigneten Wohlordnung durch eine algebraische Basis so erzeugen, daß 1. und 2. erfüllt ist. Dagegen gibt es Bereiche \(\mathfrak G\) denen z. B. die Eigenschaften 4. und 5. fehlen. Das Hülfsmittel zu diesem Nachweis ist der \textit{Kronecker-Weber}sche Begriff der Funktionale. Bildet man nämlich ganzen rationalen Funktionen der \(\eta\) einen Integritätsbereich, so ist der Bereich der über ihm erzeugten ganzen algebraischen Größen ein Bereich \(\mathfrak G\) der 4. und 5. nicht erfüllt ist. Ebenso wird ein Bereich \(\mathfrak G\) konstruiert, für den 3. nicht erfüllt ist. Nun läßt sich zeigen, daß der \textit{Zermelo}sche Bereich noch folgende Eigenschaft 5'. hat: \(\mathfrak G_\eta\) ist algebraisch abgeschlossen, d. h. jede Größe, die einer Gleichung genügt, deren höchster Koeffizient \(=1\) ist, während die übrigen ganzzahlige Polynome der Größen aus \(\mathfrak G_\eta\) sind, gehört zu \(\mathfrak G_\eta\). -- Diese Eigenschaft kommt aber nicht jedem Bereich \(\mathfrak G\) zu. Deswegen unterscheidet Verf. die Bereiche \(\mathfrak G\), die \textit{Zermelos} Eigenschaften 1. bis 4. und 5. erfüllen -- er bezeichnet sie mit \(\mathfrak H\) und nennt \(\mathfrak H\) einen Bereich aus algebraisch-ganzen transzendenten Zahlen -- von den allgemeineren Bereichen \(\mathfrak G\), die zwar 1.-4., aber nicht 5'. erfüllen. Die spezielleren Bereiche \(\mathfrak H\) sind leichter zu übersehen. Jeder solche Bereich läßt sich mittels einer algebraischen Basis aller Zahlen konstruieren und enthält dabei \(\mathfrak G_\eta\) als Teiler. \(\mathfrak G_\eta\) ist selbst ein \(\mathfrak H\) und ist im abstrakten Sinne nichts anderes als der Durchschnitt aller der Bereiche \(\mathfrak H\), die mit Hülfe der gleichen Basis \(H\) aufgebaut sind. Die Frage nach den allgemeinsten Bereichen \(\mathfrak H\) wird erschöpfend beantwortet. Jeder Bereich \(\mathfrak H\) kann nämlich in folgender Weise aus \(\mathfrak G_\eta\) erzeugt werden: \(\mathfrak S\) sei irgendein System von rationalen oder algebraischen Funktionen der \(\eta\). Man bilde den Bereich \(\mathfrak T\) der aus allen ganzzahligen Polynomen von je endlich vielen Elementen aus \(\mathfrak G_\eta\) und \(\mathfrak S\) besteht. Und nun konstruiere man den Bereich \(\mathfrak T\) der aus allen den Größen besteht, die einer Gleichung mit dem höchsten Koeffizienten 1 genügen, während die andern Koeffizienten ganzzahlige Polynome der Größen aus \(\mathfrak T'\) sind. Legt man \(\mathfrak S\) die einzige Bedingung auf, daß\ bei dieser Konstruktion von \(\mathfrak T'\) keine algebraisch gebrochene Zahl in \(\mathfrak T'\) vorkommt, so ist dadurch \(\mathfrak T'\) ein Bereich \(\mathfrak H\). Die Frage, wie man alle ``zulässigen'' Systeme \(\mathfrak S\) findet, wird noch beantwortet. -- Um die Frage nach den allgemeinsten Bereichen \(\mathfrak G\) zu beantworten, die nur \textit{Zermelos} Eigenschaften 1.-4. erfüllen, ist es nötig, die algebraische Basis durch eine rationale zu ersetzen, die eine gewisse Eigenschaft erfüllt. Dann kann die Entstehung dieser allgemeinsten Beriche \(\mathfrak G\) in analoger Weise formuliert werden. Die Konstruktion der rationalen Basis wird besonders erörtert. Schließlich werden noch alle isomorphen Bereiche zu Klassen zusammengefaßt und diese Klassen charakterisiert; ihre Zahl ist nicht endlich. Verf. gibt endlich noch einen Ausblick, wie sich ihre Ergebnisse ausdehnen lassen auf den allgemeinsten abstrakt definierten Körper, den \textit{Steinitz} untersucht hat. -- Leider ist die wertvolle Arbeit nicht überall hinreichend scharf in der Ausdrucksweise.