Über allgemeine Näherungsformeln für Nullstellen und Unendlichkeitsstellen. (Q1472636)

In der vorliegenden Arbeit werden die Gedanken, die dem \textit{Graeffe}schen Verfahren zugrunde liegen, benutzt, um für Nullstellen ganzer und meromorpher Funktionen und Pole meromorpher Funktionen Formeln zu entwickeln. Benutzt das \textit{Graeffe}sche Verfahren die \(2^r\)-ten Potenzen der Wurzeln, so werden hier beliebige Potenzen verwandt. Ist \(f(z)=0\) die vorgelegte Gleichung \(n\)-ten Grades und \(\omega\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel, so ist \(f(z)f(\omega z)\dots f(\omega^{p-1}z)=(z^p)^n+B_1(z^p)^{n-1}+\cdots\), falls \(f(z)=z^n+\cdots\) ist. Bekanntlich erhält man dann aus den Koeffizienten \(B_i\) nach Ausziehung der \(p\)-ten Wurzel die Näherungen für die Wurzeln der Gleichung \(f=0\). Worauf es also ankommt, ist die Berechnung der \(B_i\), und diese gewinnt nun der Verf. durch Differentiationen aus der oben angegebenen Formel. Verf. zeigt, wie man diese Differentiationen geschickt ausführen kann, umd gibt aus den so gewonnenen Formeln neue Ausdrücke für die Näherungen von Nullstellen. Er erweitert dann die Resultate auf ganze transzendente Funktionen endlichen Geschlechtes und deren Quotienten, für die sich dann auch eine genäherte Berechnung ihrer Pole ergibt. Unter den Anwendungen erwähne ich die Berechnung der Perioden der \textit{Weierstraß}schen elliptischen Funktionen. Ein besonderer Abschnitt ist der Aufgabe gewidmet, die genäherte Berechnung der Pole gesondert von der der Nullstellen zu erhalten.