Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen. (Q1472651)

Laguerre hat unendliche Folgen reeller Zahlen (A) \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2,\ldots \) mit folgenden Eigenschaften angegeben: Ist \(a_0+a_1x+\cdots +a_mx^m=0\) eine beliebige algebraische Gleichung mit lauter reellen Wurzeln, so hat die Gleichung \(\alpha_0a_0+\alpha_1a_1x+\cdots + \alpha_mc_mx^m = 0\) ebenfalls nur reelle Wurzeln. Die Folge A wird ``Faktorenfolge erster Art'' genannt. Unter einer ``Faktorenfolge zweiter Art'' verstehen die Verf. eine Folge reellen Zahlen (B) \(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots \) mit der Eigenschaft, daß die Gleichung \(\beta_0b_0+\beta_1b_1x+\cdots + \beta_mb_mx^m = 0\) keine imaginäre Wurzel hat, falls die beliebige Gleichung \(b_0+b_1x+\cdots +b_mx^m = 0\) lauter reelle Wurzeln von gleichem Vorzeichen besitzt. Mit diesen Faktorenfolgen beschäftigen sich die Verf. und geben für sie notwendige und hinreichende Kriterien an; beide Arten von Folgen werden in Zusammenhang mit gewissen zwei Klassen von ganzen transzendenten Funktionen gebracht, deren Untersuchung identisch ist mit der der folgenden. Zunächst werden einige Eigenschaften der Faktorenfolgen entwickelt. Beispielsweise kann man bei einer Faktorenfolge \(\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2\dots \) ein Anfangsstück weglassen; der Rest \(\gamma_{v+1}, \gamma_{v+2}, \dots \) ist dann noch immer eine Faktorenfolge derselben Art. Ferner wird u. a. gezeigt: Hat man zwei Folgen \((\alpha_v)\) und \((\alpha_v^\prime\) erster Art, so ist \((\alpha_v \alpha_v^\prime\) wieder eine Folge der ersten Art. Ist aber \((\beta_v)\) von der zweiten Art, so ist auch \((\alpha_v\beta_v)\) von der zweiten Art, usw. Nun führen die Verf. zwei Typen ganzer Funktionen ein. Typus I: \(\Phi=\alpha_0+\frac{\alpha_1}{1!}x+\frac{\alpha_2}{2!}x^2+\dots \) soll eine ganze Funktion mit lauter reellen Wurzeln gleichen Vorzeichens sein, für die entweder \(\Phi(x)\) oder \(\Phi(- x)\) eine Produktzerlegung I: \(\Phi(x)=\frac{\alpha_r}{r!}x^re^{\gamma x}\prod^{\infty}_{v=1}(1+\gamma_vx)\), besitzt, wobei \(\alpha_r\gtrless 0, \gamma\ge 0, \gamma_v\ge 0\) ist. Eine ganze Funktion \(\Psi(x)=\beta_0+\frac{\beta_1}{1!}x+\frac{\beta_2}{2!}x^2+c\dots\)heißt eine Funktion des Typus II, wenn ihre Nullstellen sämtlich reell sind und die Produktzerlegung die Form (II) \(\Psi(x)=\frac{\beta_r}{r!}x^re^{-\gamma x^2+\delta x}\prod^{\infty}_{v=1}(1+\gamma_vx)e^{-\delta_vx} (\beta_r\gtrless 0)\) hat, wobei \(\delta_v\) reell und \(\gamma\ge 0\) ist. Folgende Sätze werden nun gezeigt: 1. Eine Potenzreihe \(\sum^{\infty}_{v=0}\frac{\alpha_v}{v!}x^v\) mit reellen Koeffizienten ist dann und nur dann eine Funktion des Typus I wenn sich eine Folge von Polynomen \(\Phi_n=\alpha_{n0}+\frac{\alpha_{n1}}{1!}x+\frac{\alpha_{n2}}{2 !}x^2+\cdots (n=1, 2, 3, \dots )\) mit lauter reellen Nullstellen gleichen Zeichens angeben läßt, die in einem Kreise \(| x|\le\varrho\) gleichmäßig gegen \(\Phi(x)\) konvergiert. Beim Beweise spielt der von \textit{Schur} bewiesene Kompositionssatz eine wichtige Rolle. Ein entsprechender Satz wird für die Faktorenfolgen gezeigt; das für die Folgen erster Art lautet: Die reellen Zahlen \((\alpha_v)\) bilden eine Folge erster Art dann und nur dann, wenn alle Gleichungen \(\alpha_0+\binom{n}{1}\alpha_1x+\binom{n}{2}\alpha_2x^2+\cdots+\alpha_nx^n=0\) lauter reelle Wurzeln gleichen Zeichens haben. Ähnlich sieht das Kriterium für die Folgen zweiter Art aus. Es werden dann u. a. auch noch die notwendigen und hinreichenden Bedingungen angegeben, unter denen eine Folge B auch eine Folge A ist. Darauf folgen die transzendenten Kriterien: Eine Folge \((\gamma_v)\) ist dann und nur dann eine Faktorenfolge erster Art (zweiter Art), wenn die Potenzreihe \(\sum^{\infty}_{v=1}\frac{\gamma_r}{v!}x^v\) eine ganze Funktion vom ersten (zweiten) Typus darstellt. Aus diesen Kriterien heraus ergeben sich nu leicht Beispiele für Faktorenfolgen, indem man Funktionen des ersten oder zweiten Typus in Reihen entwickelt. Da alle ganzen Funktionen vom Geschlecht 0 und 1, deren Koeffizienten und Nullstellen reell sind, in dem Bereich der Funktionen vom Typus II. enthalten sind, so lassen sich aus den ermittelten Beziehungen zu den algebraichen Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln Eigenschaften der ganzen Funktionen vom Geschlechte 0 und 1 ablesen. Unter den vielen so gewonnenen Sätzen erwähne ich nur noch folgende: Eine ganze Funktionen zweiter Art, deren nicht verschwindende Koeffizienten positiv sind, ist eine Funktion erster Art der Form \(e^{\gamma x}\prod^{\infty}_{v=1}(1+\gamma_v x)\), wobei \(\gamma, \gamma_1, \dots \) nicht negative Zahlen sind.