Über ganze rationale Darstellung der Invarianten eines Systems von beliebig vielen Grundformen. (Q1472713)

Sei \(F\) eine Form mit irgendeiner Anzahl von Variabeln und irgendeiner Ordnung: die Anzahl ihrer Koeffizienten sei \(n\). Ein Grundformensystem \((F)\) bestehe aus \(N(>n)\) solcher Formen \(F\) in denselben Variabeln und von gleicher Ordnung. Aus dem System \((F)\) werden \(n\) Formen \(F_i\) herausgegriffen; \((J)\) sei das volle System ganzrationaler Invarianten der \(F_i\). Es soll \textit{erstens} aus \((J)\) ein solches System ganzrationaler Invarianten des Systems \((F)\) hergeleitet werden, durch die sich jede ganzrationale Invariante von \((F)\) \textit{rational} darstellen läßt. Sei \(\Delta\) die \(n\)-reihige, aus den Koeffizienten der \(F_i\) zu bildende Determinante und \(\Delta\) das System aller aus irgend \(n\) der \(N\) Formen \((F)\) zu bildenden \(\Delta\), so wird ganz elementar gezeigt, daß das aus \((J)\) und \((\Delta)\) bestehende System \((J, \Delta)\) von der verlangten Art ist. \textit{Zweitens} soll aus \((J)\) ein solches System ganzrationaler Invarianten von \((F)\) abgeleitet werden, durch die sich jede ganzrationale Invariante \textit{ganz und algebraisch} darstellen läßt. Diese Frage läßt sich bejahend beantworten auf Grund eines früher (F. d. M. 25, 173 (JFM 25.0173.*), 1895) vom Verf. aufgestellten Theorems: Hat das Verschwinden einer gewissen Anzahl von Invarianten stets das Verschwinden aller übrigen Invarianten eines Grundformensystems zur Folge, so sind alle Invarianten ganze algebraische Funktionen jener ersteren. Man bilde aus \((J)\) alle Invarianten \((VJ)\), indem statt der Koeffizienten der \(F_i\) die entsprechenden Koeffizienten der \(F_{n+1,\dots,}F_N\) eingeführt werden, sodann besitzt das aus \((J)\) und \((VJ)\) zusammengesetzte System \((J, VJ)\) die Gewünschte Eigenschaft. \textit{Drittens} ist aus \((J)\) ein solches System ganzrationaler Invarianten herzuleiten, durch die jede ganzrationale Invariante von \((F)\) \textit{ganzrational} darstellbar ist. Durch Anwendung des Polarenprozesses \(P\) geht irgendeine Invariante wieder in eine solche \(PJ\) über. Es wird die Vermutung ausgesprochen, daß das aus den Systemen \((J)\) und \((PJ)\) zusammengesetzte System die in Rede stehende Eigenschaft besitzt. Frl. {it Noether} führt den Beweis für die Richtigkeit dieser Vermutung auf Grund des bekannten Reduktionssatzes, daß sich jede Form von beliebig vielen Reihen von je \(n\) Variabeln darstellen läßt als Summe von Polaren von Formen, die nur \(n\) feste Reihen enthalten und aus der Ausgangsform durch Polarenprozesse entstehen. Sei \(\Theta\) eine in jeder der \(N>n\) Reihen \(A_k(k=1,\dots,N)\) homogene Form, wo \(A_k\) aus den \(n\) Elementen \(A^{(i)}_k(i=1,\dots,n)\) bestehe. \(P\) bedeute eine ganzrationale Funktion -- mit rationalen Zahlkoeffizienten -- der Polarprozesse \(P_{hk}=\sum A^{(i)}_h\,\frac{\partial}{\partial A^{(i)}_k}\). Dann lautet der obige Reduktionssatz: \(\Theta=\sum PZ\), wo die Formen \(Z\) nur noch die \(A_i\) enthalten und aus \(\Theta\) durch Polarprozesse \(P\) abgeleitet sind. Es liege jetzt das Grundformensystem \((F_i)(i=1, 2\dots, N)\) von \(N\) Formen gleicher Ordnung und gleicher Variablenzahl vor, deren Koeffizienten die \(N\) Reihen \(A_i\) seien. Mit \((J)\) sei das (endliche) volle System von Invarianten der \(F_i\) bezeichnet. Dann wird jede rationalzahlige Simultaninvariante \(S\) der \(F_i\) eine je in den \(A_i\) homogene Form mit rationalen Zahlkoeffizienten, auf die also die Identität (1) anwendbar ist. Die Anwendung der Polarprozesse \(P\) auf \(S\) erzeugt wieder Invarianten, also werden es auch die \(Z\), sind somit ganzrational durch das System \((J)\) darstellbar. Die Identität (1) geht daher über in \(S=\sum PY\), wo die Potenzprodukte der \((J)\) sind. Die Ausführung der Prozesse \(P\) auf \(Y\) besteht in der sukzessiven, endlichmaligen Ausführung der \(P_{hk}\), die auf Summen von Produkten aus Invarianten \((J)\) und \((PJ)\) führen. Damit ist aber die ganzrationale Darstellbarkeit aller \(S\) durch \((J,PJ)\) bewiesen. Das Folgende enthält einen selbständigen Beweis des Reduktionssatzes auf Grund der Theorie der linearen Formenscharen in \(K\). Eine solche ist ein System von Formen gleicher Dimension, derart, daß neben \(\mathfrak D_1\) und \(\mathfrak D_2\) stets auch \(c_1\mathfrak D_1+c_2\mathfrak D_2\) zum System gehört, wo \(c_1,c_2\) einem vorgegeben Rationalitätsbereiche \(K\) angehören, der den Koeffizientenbereich der \(\mathfrak D\) enthält. Es gibt dann eine endliche Anzahl \(\varrho\) linear unabhängiger Formen in \(K\): die Schar hat den ``Rang'' \(\varrho\) in bezug auf \(K\). Wesentlich ist der Hülfssatz: Sind \(\mathfrak L\) und \(\mathfrak T\) zwei lineare Scharen in \(K\) mit gleichem Range \(\varrho\), und ist \(\mathfrak T\) eine Teilschar von \(\mathfrak L\), so sind \(\mathfrak L\) und \(\mathfrak T\) identisch (äquivalent). Wendet man auf (1) den Prozeß \(P\) an, so lassen sich auch alle Polaren von \(\mathfrak D\) durch Summen der speziellen Polaren \(PZ\) darstellen. Der Reduktionssatz sagt also die Äquivalenz dieser beiden linearen Formenscharen aus. Diese Äquivalenz wird auf Grund des obigen Hülfssatzes nachgewiesen. Durch analoge Überlegungen wird auch die \textit{allgemeine} Reihenentwicklung (für \(N\geqq n\)) gewonnen. Man hat zunächst: \[ (2)\quad Z=\sum PH\;mod \Delta, \] wo \(Z\) die \(A_i\) homogen enthält, \(\Delta\) die Determinante dieser Reihen ist, und die \(H\) nur noch die \(A_1,\dots,A_{n-1}\) enthalten, und aus \(Z\) durch Prozesse \(P\) abgeleitet sind. Vermöge (2) läßt sich dann \(Z\) nach Potenzen von \(\Delta\) (bis zu einer \(\mu^{\text{ten}}\)) entwickeln.