The finiteness theorem for invariants of finite groups. (Q1472714)

Es wird ein elementarer, nur auf der Theorie der symmetrischen Funktionen beruhender Endlichkeitsbeweis für die Invarianten endlicher Gruppen erbracht, der zuglich eine wirkliche Angabe des vollen Systems ermöglicht. Es bestehe \(\mathfrak H\) aus den \(h\), die Identität enthaltenden, linearen Transformationen \(A_k\) in den Variabeln \((x)\): vermöge \(A_k\) gehe die Reihe \((x)\) über in die Reihe \((x^k)\). Sei \(f\) eine ganzrationale absolute Invariante von \(\mathfrak H\) die also bei Anwendung der \(A_k\) identisch ungeändert bleibt, so daß \[ (1)\quad f(x)=\frac{1}{h}\sum_kf(x^{(k)}). \] Dadurch ist \(f(x)\) als einförmige symmetrische Funktion der \(x^(k)\) dargestellt; also auch ganzrational durch die Koeffizienten \(G_{\alpha \alpha_1-\alpha_n}(x)\), der \textit{Galois}schen Resolvente: \[ \Phi(z, u)=\prod^{h}_{k=1}(z+u_1x^{(k)}_1+\cdots +u_nx^{(k)}_n= z^h+\sum G_{aa_1\dots a_n}(x)z^au^{a_1}_1\dots u^{a_n}_n(\alpha+\alpha_1+c\dots +\alpha_n=h), \] wo die \(G\) Invarianten in den \(x\) sind. Somit bilden die Koeffizienten \(G\) der \textit{Galois}schen Resolvente ein volles Invariantensystem der Gruppe. Eine noch elementarere Betrachtung führt auf Grund von (1) zu einem zweiten vollen System. Sei \(f(x)=a+bx_1^{\mu_1}\dots x_n^{\mu_n}+\cdots +cx^{\nu_1}_1\dots x^{\nu_n}_n\), so liefert \((1)\) die invariante Entwicklung: \[ hf(x)=ha+bJ_{\mu_1\dots \mu_n}+\cdots +cJ_{\nu_1\dots \nu_n}. \] Jede Invariante läßt sich also aus den \(J_{\mu_2\dots \mu_n\dots}\) ganzlinear zusammensetzen; es ist nur noch zu zeigen, daß jene speziellen \(J\) ein volles System besitzen. Man bilde die \(h\) Linearformen \(\xi=u_1x_1+\dots +u_nx^{(i)}_n\), und aus ihnen die \(\mu^{\text{ten}}\) Potenzsummen \(S_\mu\). Diese sind aber ganzrational in den \(h\) ersten \((\mu=1\dots, h\), deren Koeffizienten durch die \(J_{\mu_1\dots \mu_n}(\sum \mu\leqq h)\) gegeben sind. Daher ist ein volles Invariantensystem der Gruppe von der Ordnung \(h\) auch gegeben durch alle Invarianten \(J_{\mu_1\dots \mu_n}\) mit \(\sum \mu\leqq h\). Beide Ergebnisse haben gemein, daß die Invarianten des vollen Systems einen Grad in den \(x\) besitzen, der die Ordnung \(h\) der Gruppe nicht übersteigt. Es folgt noch, daß sich jede \textit{rationale} absolute Invariante \textit{rational} durch die Koeffizienten \(G\) der \textit{Galois}schen Resolvente ausdrücken läßt.