Über Bewegungsinvarianten und elementare Geometrie in einer Minimalebene. (Q1472735)

\textit{Study} (F. d. M. 27, 369 (JFM 27.0369.*), 1896) hat für die euklidische Ebene \(E\) das Fundamentalproblem der Bewegungsinvarianten \(I\) gelöst, alle ganzen irreduzibeln \(I\) in einem unbegrenzten System von Punkten und Geraden aufzustellen, nebst den zwischen den \(I\) stattfindenden irreduzibeln Relationen. Der Verf. wendet die \textit{Study}sche Methode an auf die analoge (einfachere) Aufgabe, das Entsprechende für alle ganzen irreduzibeln Invarianten \(I\) gegenüber der Gruppe \(A\) der automorphen Ähnlichkeitstransformationen in einer Minimalebene \(M\). Erst nach Lösung dieser Aufgabe lassen sich für die einfachsten Figuren von Punkten und Geraden in \(M\) die gegenüber gewissen Untergruppen von \(A\) absoluten Invarianten aufstellen. Unter diesen Untergruppen ist wichtig die dreigliedrige Gruppe der Bewegungen der ``Grenzgruppe'', die aus den automorphen Bewegungen von \(E\) hervorgeht, wenn man mit diesen einen geeigneten Grenzübergang von \(E\) in \(M\) vornimmt. Einige allgemeine Sätze werden vorausgeschickt. In einer Ebene bilden die Kollineationen, die eine Gerade \(l\) und einen mit ihr inzidenten Punkt \(\lambda\) in Ruhe lassen, eine fünfgliedrige Untergruppe \(K_5\) der achtgliedrigen Gruppe \(K_8\) der automorphen Kollineationen der Ebene. Es sind die ganzen Invarianten der \(K_5\) von beliebig vielen Punkten \(x, y, z,\dots\) und Geraden \(u, v, w, \dots\) der Ebene aus ihren einfachsten Elemententypen aufzubauen; letztere sind \[ (1)\quad (uvw), (ux), (xyz), (luv), (lx), (u\lambda), (xy\lambda). \] Jede ganzrationale Funktion dieser Typen, je homogen bezüglich der \(x, y, \dots, u, v, \dots\), aber nicht notwendig homogen bezüglich der \(l\) und \(\lambda\), ist eine ganze Invariante der \(K_5\) und umgekehrt. Dabei sind die Invariantentypen (1) durch gewisse irreduzible Identitäten verknüpft, die sich erschöpfend angeben lassen. In der Mannigfaltigkeit der ganzen Invarianten von \(K_5\) herrscht vollkommene Dualität. Nunmehr wird im besonderen als die in Betracht kommende Ebene die Minimalebene \(M: y+iz=0\) gewählt. Die homogenen Koordinaten \(x_1 : x_2 : x_3\) eines Punktes \(x\) in \(M\) werden eingeführt durch \(x=i\frac\,{x_2}{x_1}, y=\frac{x_3}{x_1}, z=i\,\frac{x_3}{x_1}\). Die Gerade \(l(1,0,0)\) ist jetzt die unegentliche Gerade von \(M\) und der Punkt \(\lambda(0,0,1)\) der absolute Punkt von \(M\). Alle Punkte von der Form \((0,x_2,x_3)\) heißen uneigentliche, und alle Geraden \((u_1,u_2,0)\) Minimalgerade. Dagegen heißt ein Punkt \(x\), für den \((lx)\equiv x_1\neq 0\), ein eigentlicher, und eine Gerade \(u\), für die \((u\lambda)\equiv u_3\neq 0\), eine euklidische Gerade. Die Invarianten \((luv)\) und \((xy\lambda)\) nehmen jetzt die Werte \(u_2v_3-u_3v_2,x_1y_2-x_2y_1\) an. Es kommt nun darauf an, die einfachsten absoluten Ähnlichkeits- und Bewegungsinvarianten von \(M\) aufzustellen. Die Unterlage bilden die automorphen Ähnlichkeiten von \(M\), deren Gleichungen in Punktkoordinaten sind: \[ (2)\begin{aligned} &x_1^prime=b_{11}x_1,\;x_2^prime=b_{21}x_1+b_{23}x_2,\;&x_3^prime=b_{31}x_1+b_{32}x_2+b_{33}x_3\end{aligned}, \] Diese enthalten folgenden Untergruppen: \((3_1)\) die viergliedrige Grenzgruppe: \(b_{33}=b_{22}\); \((3_2)\) die viergliedrige Gruppe der automorphen Bewegungen von \(M\): \(b_{22}=b_{11}\); \((3_3)\) die viergliedrige Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen mit \(b_{33}=b_{11}\); \((3_4)\) die dreigliedrigen Durchschnitt obiger drei Gruppen, die Bewegungen der Grenzgruppe: \(b_{33}=b_{22}=b_{11}\). Außer dieser Untergruppen kommen noch gewisse Scharen der automorphen Umlegungen von \(M\) in Betracht, mit \(b_{22}=-b_{11}\), insbesondere die Umlegungen von \((3_3)\), mit \(-b_{33}=b_{22}=- b_{11}\), und die der Grenzgruppe \((3_4)\), mit \(b_{33}=b_{22}=- b_{11}\). Es ist leicht anzugeben, mit welchen Faktoren die Typen (1) durch die Ähnlichkeiten (2) reproduziert werden. Nunmehr werden, zunächst für \textit{zwei} beliebige Elementargebilde, die einfachsten Größen aufgestellt, die zum mindesten für die engste der Gruppen (die Bewegungen der Grenzgruppe) absolute Invarianten sind. Dahin gehören der ``Abstand'' zweier Punkte, die ``Öffnung'' zwischen einer Geraden und einem Punkte, die ``Sperrung'' zweier Geraden. Es ergibt sich, daß in \(M\) die Bewegungen der Grenzgruppe die \textit{allgemeinste} Untergruppe der automorphen Ähnlichkeiten sind, für die bereits zwei \textit{beliebige} Elementargebilde eine absolute Invariante besitzen, im Gegensatze zur euklidischen Ebene. In der Elementargeometrie von \(M\) herrscht daher vollkommene \textit{metrische Dualität}. In demselben Sinne wird noch die Figur dreier Punkte oder dreier Geraden untersucht, als Grundlage für eine selbstständige Dreiecksgeometrie in \(M\).