Über die Invarianten der algebraischen Gebilde von drei Dimensionen. (Q1472740)

\textit{Noether} [F. d. M. 2, 619 (JFM 02.0619.*), 1869 und Math. Ann. 8, 495, 1875, (Referat fehlt)] hat die moderne Theorie der algebraischen Flächen begründet, darüber hinaus aber allgemein die Theorie der algebraischen Gebilden \(V_n\) von beliebig vielen Dimensionen. Im besonderen hat \textit{Pannelli} (F. d. M. 37, 663 (JFM 37.0663.*), 1906) fünf invariante Zahlen \(\Delta,\Delta^{(1)},\dots,\Delta^{(4)}\) eingeführt, von denen \(\Delta^{(2)},\Delta^{(4)},\Delta^{(3)}\) mit den bereits von \textit{Noether} aufgestellten \(p^{(2)}, p^{(3)}, p^{(4)}\) übereinstimmen, während \(\Delta^{(1)}\) das arithmetische Geschlecht der kanonischen Flächen \(K\) bedeutet. Eine systematische Behandlung der \(V_3\) liegt von \textit{Severi} (F. d. M. 40, 711 (JFM 40.0711.*), 1909) vor; es wird dort u. a., wenn auch mit umständlicher Beweisführung, eine Fundamentalformel zwischen dem arithmetischen Geschlecht einer \(V_3\) und deren andern Invarianten abgeleitet. Die Invariante \(\Delta\) von \textit{Pannelli} hat \textit{Severi} wiedergefunden und deren Bedeutung geklärt. Es gelten die drei Beziehungen: \[ (1)\;\Delta-4=\Delta^{(1)}+\Delta^{(3)}-\Delta^{(4)},\;(2)\quad 4\Delta^{(3)}=\Delta^{(2)}-1,\;(3)\quad 3\Delta^{(3)}=2\Delta^{(4)}-2. \] \textit{Severi} schreibt \(\Omega_0,\Omega_1,\Omega_2\) für \(\Delta^{(3)},\Delta^{(4)},\Delta^{(1)}\) und erhält für das arithmetische Geschlecht \(P_a\) die Formel \((4) 2P_a=\Omega_0-\Omega_1+\Omega_2+\Omega_4\), wo \(\Omega_0\) der Grad einer charakteristischen Kurve des kanonischen linearen Systems \(| F|\) von \(V_3\) ist. Es mögen die kanonischen Flächen \(K\) irreduzibel sein und ein wenigstens \(\infty^2\) System bilden, so daß das geometrische Geschlecht \(P_g\) von \(V_3\) wenigstens gleich drei ist. Weiter sollen die Schnittkurven \(D\) je zweiter Flächen \(K\) irreduzibel sein. Auf jeder \(K\) hat man dann \(\infty^1\) charakteristische Kurven, und zwei Kurven \(D\) bilden eine (reduzible) kanonische Kurve \(C\) von \(K\). Dann gilt für das Geschlecht \(p^{(2)}\) von \(C\): \((5) p^{(2)}=2\Omega_1+\Omega_0-1, (6) p^{(2)}- 1=4\Omega_0\). Damit nehmen die Formeln (2) und (3) die Gestalt an: \((2') p^{(2)}=4\Omega_0+1, (3') 3\Omega_0=2\Omega_1-2\). Für das geometrische Geschlecht \(p_2\) von \(K\) hat man andrerseits die \textit{Noether}sche Ungleichung \((7) 2\Omega_0\geqq p_g-2\) und die charakteristische Serie auf einer \(D\) liefert die weitere Ungleichung: \((8) \Omega_0\geqq 2(P_g-3)\). Es handelt sich des weiteren um die Ermittelung oberer und unterer Grenzen der wichtigsten invarianten Charaktere, insbesondere von \(P_a\) und \(P_g\). So liefert die \textit{Severi}sche Relation (4) für das arithmetische Geschlecht \(P_a\) eine obere Grenze in Abhängigkeit von den Flächengeschlechtern \(p_g,\Omega_2\). Für das Weitere wird noch die \textit{Picard}sche Formel \((9) \varrho+\varrho_0=4p_g+8p_a11-p^{(2)}\) herangezogen, wo \(\varrho, \varrho_0\), resp. die Zahl der Basiskurven auf der Fläche und die Zahl der linear unabhängigen Doppelintegrale zweiter Gattung bedeuten. Diese liefert die Ungleichung \((10) 4\Omega_0\leqq 4p_g+8\Omega_2+9\), die mit der weiteren \((11) p_g\leqq2\Omega_2+4\) kombiniert wird. Damit ergibt sich eine obere Grenze für \(P_g\). Daraufhin läßt sich auch eine untere Grenze für \(P_a\) ableiten: es ergibt sich einfach \(P_a\geqq- \frac{\Omega_2}{2}\). Damit gewinnt man auch entsprechende Ungleichungen für die Irregularität \(P_g-P_a\). Diese Entwicklungen lassen sich auch auf den Fall ausdehnen, wo von den eingangs erwähnten Bedingungen nicht alle erfüllt sind. Auch dann lassen sich obere und untere Grenzen für \(P_a\) und \(P_g\) ermitteln.