The canonical types of nets of modular conics. (Q1472747)

Das folgende Problem wird behandelt: Gegeben sind drei ternäre quadratische Formen \((i=1,2,3)\): \[ C_i=a_it_1^2+2h_it_1t_2+b_i t_2^2+2g_i t_1t_3+2f_i t_2t_3+c_it_3^2,\tag{1} \] die zum dem \(\mathrm{GF}(p^n)\) gehören. Das Formennetz (2) \(R=xC_1+yC_2+zC_3\) mittels gleichzeitig an den \(t\) einerseits, an den \(x,y,z\) andrerseits ausgeführter linearer Transformationen auf kanonische Typen zurückzuführen. Die \(t_i\) werden als die Veränderlichen, die \(x,y,z\) als die Parameter angesehen, eine Transformation der letzteren (die irgendein \(C\) durch eine lineare Kombination ersetzt) als eine Parametervertauschung. Unter kanonischen Typen wird verstanden, was dieser Ausdruck in der Algebra bedeutet, nämlich Typen, die bei den erwähnten Transformationen den Netzen (2) im Aggregat äquivalent sind und die die Mindestzahl willkürlicher Konstanten enthalten, indem solche Konstanten, die vorkommen, Invarianten des Netzes sind. Das entsprechende Problem für das Feld der gewöhnlichen komplexen Zahlen ist von \textit{C. Jordan} vollständig gelöst worden [J. Math. Pures Appl. (6) 2, 403--438 (1906; JFM 37.0136.01)]. In diesem Felde sind die Verschwindungspunkte der \(C_i\) Kurven zweiter Ordnung und die Diskriminante des Netzes eine kubische Kurve, der Ort der Punkte \((x,y,z)\), für welche die quadratische Form \(R(t_1,t_2,t_3)=0\) entartet. In dem endlichen Felde kann die Analogie der Geometrie noch weiter nützlich sein. Die Verschwindungspunkte in der endlichen Geometrie von \textit{O. Veblen} und \textit{W. H. Bussey} [Trans. Am. Math. Soc. 7, 241--259 (1906; JFM 37.0488.03)] ergeben Kegelschnitte und die der Diskriminante des Netzes eine kubische Kurve. Der Verf. zieht aber wegen des wenig entwickelten Zustandes des hierzu nötigen Teiles der endlichen Geometrie die rein algebraische Methode vor, obgleich er gelegentlich aus der geometrischen Veranschaulichung Nutzen zieht und sich häufig der geometrischen Benennungen bedient. Das Netz (2), als quadratische Form der \(t_i\) betrachtet, sei: \[ R=a_{11}t_1^2+2a_{12}t_1t_2+2a_{22}t_2^2+2a_{13}t_1t_3+2a_{23}t_ 2t_3+a_{22}t_3^2, \] ihre Diskriminante \[ D=\left|\begin{matrix} &a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ &a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ &a_{31} &a_{32} &a_{33}\end{matrix}\right| \] in eine ternäre kubische Form in \(x,y,z\). Die Diskussion des Netzes wird nach dem Range von \(D\) in drei Teile zerlegt: a) \(D\) hat den Rang 1. Es gibt Werte von \(x,y,z\) (immer mit Ausschluß von \(x=y=z=0\)), für welche die ersten Minoren von \(D\) gleichzeitig verschwinden. In diesem Falle enthält das Netz eine unäre Form, und umgekehrt: Werte von \(x,y,z\) die \(R\) zu einer unären Form machen, bringen alle ersten Minoren zum Verschwinden. b) \(D\) hat den Rang 2. Es gibt Werte von \(x,y,z\) die \(D\) zum Verschwinden bringen, aber keine, für die alle ersten Minoren verschwinden. In diesem Falle enthält das Netz eine binäre Form, aber keine unäre; die Umkehrung dieses Satze gilt ebenfalls. c) \(D\) hat den Rang 3. Es gibt keine Werte von \(x,y,z\), für die \(D\) verschwindet. Das Netz enthält in diesem Falle weder eine binäre noch eine unäre Form. Die Existenz dieses Netzes ist an sich bemerkenswert und kommt nur vor, wenn die Koeffizienten von \(R\) engen Bedingungen unterliegen. Die Durcharbeitung dieser Fälle führt zu dem Ergebnis: ``Das Netz \(R=xC_1+yC_2+zC_3\) von ternären Formen \(C_1=a_1t_1^2+2ht_1t_2+b_1t_2^2+2g_1t_1t_3+2f_1t_2t_3+c_1t_3^2\) ist auf 19 kanonische Typen zurückgeführt worden, nämlich I-XI, die eine unäre Form enthalten; XII-XVII, die eine binäre Form enthalten; XVIII und XIX die weder unäre noch binäre Formen enthalten. Alle Fragen über Zwischenbeziehungen unter diesen Typen sind betrachtet und beantwortet worden, mit Ausnahme derer in bezug auf die beiden Fälle: Netze XVI und XVII, Netze XVIII und XIX.'' Eine tabellarische Übersicht dieser 19 Typen beschließt die Abhandlung.